数学の力

京大生が数学の定理・公式の証明や入試問題の解説をするブログ.

入試問題

京大2021年度理系第4問(曲線の長さ)

問題.ーーー→ 2021年度京大理系の他の問題はこちらから 第1問 第2問 第3問 第4問 第5問 第6問 第4問. 曲線 の の部分の長さを求めよ. 問題自体はシンプルですね.公式に当てはめて,あとは積分がきちんと計算できるかどうかという問題です.曲線の長さを求…

京大2021年度理系第5問(軌跡)

問題.ーーー→ 2021年度京大理系の他の問題はこちらから 第1問 第2問 第3問 第4問 第5問 第6問 第5問. 平面において,2点 に対し,点 は次の条件 を満たすとする. かつ点 の 座標は正. 次の各問に答えよ. (1) の外心の座標を求めよ. (2) 点 が条件 を満…

京大2021年度理系第2問(微分・最小値)

問題.ーーー→ 2021年度京大理系の他の問題はこちらから 第1問 第2問 第3問 第4問 第5問 第6問 第2問. 曲線 上の点における接線は軸と交わるとし,その交点をとおく.線分の長さをとするとき,が取りうる値の最小値を求めよ. この問題は解いてみると意外と…

京大2021年度理系第3問(無限級数)

問題.ーーー→ 2021年度京大理系の他の問題はこちらから 第1問 第2問 第3問 第4問 第5問 第6問 第3問. 無限級数の和を求めよ. 無限級数を計算する問題.京大らしい短い問題文の問題ですね.複素数と結びつけて考えることができればあとは計算を頑張れば解け…

京大2021年度理系第1問-問1(ベクトル)

問題.ーーー→ 2021年度京大理系の他の問題はこちらから 第1問-問2 第2問 第3問 第4問 第5問 第6問 次の各問に答えよ. 問1. 空間の3点を通る平面に関して点と対称な点の座標を求めよ.ただし,点が平面に関してと対称であるとは,線分の中点が平面上にあり…

京大2021年度理系第1問-問2(確率)

問題.ーーー→ 2021年度京大理系の他の問題はこちらから 第1問-問1 第2問 第3問 第4問 第5問 第6問 次の各問に答えよ. 問1. 空間の3点を通る平面に関して点と対称な点の座標を求めよ.ただし,点が平面に関してと対称であるとは,線分の中点が平面上にあり…

2020年度 京大 理系第5問, 文系第5問

京大2020年度理系第5問問題縦4個,横4個のマス目のそれぞれに1,2,3,4の数字を入れていく.このマス目の横の並びを行といい,縦の並びを列という.どの行にも,どの列にも同じ数字が1回しか現れない入れ方は何通りあるか求めよ.下図はこのような入れ方の1例…

2020年度 東大 理系 第4問

東大2020年度理系第4問問題.を,を満たす整数とする.個の整数 から異なる個を選んでそれらの積をとる.個の整数の選び方すべてに対しこのように積をとることにより得られる個の整数の和をと置く.例えば, である.(1) 2以上の整数に対し,を求めよ.(2) 1…

神大 2019 年度文科系第 1 問(2 次関数,積分)

神大 2019 年度文科系第 1 問問題. を実数とし, とする.2 次関数 を で定める.曲線 は点 を通り, をみたすとする.以下の問に答えよ.(1) 関数 を を用いて表せ. (2) 点 における曲線 の接線を とする.直線 の方程式を を用いて表せ. (3) とする.(2…

神大 2019 年度理科系第 3 問(確率)

神大 2019 年度理科系第 3 問.問題. を 2 以上の整数とする.2 個のさいころを同時に投げるとき,出た目の数の積を で割った余りが 1 となる確率を とする.以下の問に答えよ. (1) を求めよ. (2) のとき, を求めよ. (3) となる をすべて求めよ. さい…

京大 2019 年度理系第 6 問

問題. は虚数単位とする. をみたす最小の正の整数 を求めよ. (実際には常用対数表が与えられています.) 複素数なのに不等号…?と一瞬思いますが, \begin{align*} \overline{(1+i)^n} &= (\overline{1+i})^n\\ &= (1-i)^n \end{align*}と, と は共役な…

神大 2019 年度理科系第 4 問

問題.少し面白い問題があったので,紹介します.次のように を繰り返して並べて得られる数列を とする. すなわち,, , で,4 以上の自然数 に対し, とする.この数列の初項から第 項までの和を とする.以下の問に答えよ. (1) を求めよ. (2) となる自然…

京大 2019 年度理系第 4 問

問題.1 つのさいころを 回続けて投げ,出た目を順に とする.このとき次の条件をみたす確率を を用いて表せ.ただし としておく.条件: をみたす のうち, かつ が成立するような の値はただ 1 つである.今年の確率の問題は,京大でよく出題される漸化式…

京大 2019 年度理系第 5 問(最大値)

問題.半径 1 の球面上の 5 点 は,正方形 を底面とする四角錐をなしている.この 5 点が球面上を動くとき,四角錐 の体積の最大値を求めよ. 体積を求める必要があるので,自分で変数を導入して,体積を表し最大値を求めていきます. 正四面体とは問題文に…

京大 2019 年度理系第 2 問

問題. とする. と がともに素数となる整数 をすべて求めよ.問題としては目新しくはない気がします. 京大 2016 年度の問題 同様に, が素数にならないような を見つけて除外していくことになります. 解答例. が偶数のときについて考える. , (は整数) …

京大 2019 年度理系第 3 問(積分)

問題.鋭角三角形 を考え,その面積を とする. をみたす実数 に対し,線分 を に内分する点を , 線分 を に内分する点を とする.実数 がこの範囲を動くときに点 の描く曲線と,線分 によって囲まれる部分の面積を, を用いて表せ.この問題では, の辺の長…

京大 2019 年度理系第 1 問 (積分など)

問題.次の各問に答えよ. 問1. とする. は有理数ではないが, と がともに有理数となるような の値を求めよ.ただし, が素数のとき, が有理数でないことは証明なしに用いてよい. 問2.次の定積分の値を求めよ. (1) (2) 問1.は の 2 倍角,3 倍角…

2012年阪大理系第4問と拡張

問題.5 次式 (は実数) について考える.このとき,以下の問いに答えよ.(1) 数列 が等差数列であることと, \begin{align*} f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+lx+m \end{align*}(は実数) と書けることは互いに同値であることを示せ.(2) は (1) の条件を満たすも…

2013年度東北大理系第1問

問題. を実数とする.3次式 に対し,方程式 の 3 つの解を とする. は の係数が 1 である 3 次式で,方程式 の 3 つの解が であるものとする. (1) を を用いて表せ. (2) 2 つの方程式 と が共通の解をもつような の値を求めよ. 方針.(1) は 3 次方程式…

京大2009年度理系[甲]第5問〜ルジャンドルの公式〜

問題. を素数, を正の整数とするとき, は で何回割り切れるか. 方針. が素数なので, を が割り切る回数は, を が割り切る回数を足し合わせればいいことがわかります. 解答例.普通に解いてみると を が割り切る回数をどのように数え上げるかが問題で…

2008年度東大理系第5問

問題.自然数 に対し, を で表す. たとえば, である. (1) を 0 以上の整数とする. は で割り切れるが, では割り切れないことを示せ. (2) が 27 で割り切れることが, が 27 で割り切れるための必要十分条件であることを示せ. 方針.(1) について は 1 が 個並ん…

徳島大学2005年度 (相加相乗平均の不等式の別証明)

相加相乗平均の別証明今回は, 2005年度に徳島大学で出題された, 相加相乗平均の不等式の証明を紹介します.問題. は自然数とする.(1) を正の実数とし, 関数を考える. のとき が成り立つことを示せ.(2) とする. 次の不等式が成り立つことを数学的帰納法によっ…

神大2017年度理科系 第5問

問題. とする. 以下の問に答えよ.(1) 正の数 で\begin{align*} \int_0^a f(t)\,dt = a \end{align*}を満たすものがただ 1 つ存在することを示せ.(2) (1)の に対し, を満たす をとる. において\begin{align*} 0\leqq\int_0^a f(t)\,dt-\int_0^{x} f(t)\,dt\le…

神大2017年度理科系 第2問

問題. とおく. 以下の問に答えよ.(1) ならば であることを示せ. また を求めよ.(2) 関数 の逆関数を とおく.\begin{align*} \int_1^{\frac{3\sqrt{3}}{2}} g(x)\,dx \end{align*} を求めよ. (1) は関数の単調増加性を示すだけなので, 微分すればOKです.(2) …

神大2017年度理科系 第3問

問題. を自然数とする. , とおく. を 3 で割った余りを とし, を 4 で割った余りを とする. 以下の問に答えよ.(1) は 3 で割り切れることを示せ.(2) かつ を満たす の個数を求めよ.(3) かつ を満たす の個数を求めよ. 自然数の割った余りに関する問題です.(1…

神大2017年度理科系第1問

問題. を を満たす実数とし,点 A, B の座標をそれぞれ とする.また原点を O, 点 をそれぞれ C, D, E, F とする. 長方形 COEA と長方形 DEFB の面積の和を とする. 以下の問に答えよ.(1) を で表せ.(2) の値を固定し, の値のみを変化させるとき, が最大となる…

京大2018年度第5問の一般化を考えてみた

京大2018年度第5問は, 前回の記事で紹介したように, 次のような問題でした. 問題 : 曲線 上の点 における法線上に, 点 を となるようにとる. ただし の 座標は より大きいとする.(1) 点 の座標 を求めよ. また, を求めよ.(2) 実数 は を満たすとし, が から…

京大2018年度理系第5問

問題.曲線 上の点 における法線上に, 点 を となるようにとる. ただし の 座標は より大きいとする.(1) 点 の座標 を求めよ. また, を求めよ.(2) 実数 は を満たすとし, が から 1 まで動くときに点 と点 が描く曲線の長さをそれぞれ とする. このとき, 極限…

京大2018年度理系第4問(確率)

問題. コインを 回投げて複素数 を次のように定める.(i) 1 回目に表が出れば とし, 裏が出れば とする.(ii) のとき, 回目に表が出れば とし, 裏が出れば とする. ただし, は の共役な複素数である.このとき, となる確率を求めよ.京大の問題では定番の, 求め…

京大理学部特色 H29年度第2問

問題. を自然数とする. 実数 を\begin{align*} a_n = \int_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{2}} \dfrac{x^{2n-1}}{\sqrt{x^2+1}}\, dx \end{align*}で定める.以下の設問に答えよ.(1) と を求めよ.(2) すべての自然数 に対し, は正の有理数であることを示せ. さらに, を互…