京大 2019 年度理系第 3 問(積分)

問題．

鋭角三角形 を考え，その面積を とする． をみたす実数 に対し，線分 を に内分する点を , 線分 を に内分する点を とする．実数 がこの範囲を動くときに点 の描く曲線と，線分 によって囲まれる部分の面積を， を用いて表せ．

この問題では， の辺の長さなどが問題文に書かれていないので，自分でおく必要があります．
そして，点 の位置を を用いて表す必要があります．

点 の座標を とするときに を で表すことはできないのですが，その状態で積分で面積を求められるか，がカギとなってきます．

解答例．

まず，頂点 を座標平面上の原点におき，点 の座標を , 点 の座標を とします．().

まず，三角形 の面積 は，

\begin{align*}
S &= \dfrac{1}{2}\cdot \gamma\cdot \beta\\
&= \dfrac{\beta\gamma}{2}.
\end{align*}

点 は線分 を に内分する点なので，その座標は .

点 は線分  を に内分する点なので，その座標を とおくと，

\begin{align*}
x &= t\{(1-t)\alpha+t\gamma\}\\
y &= t(1-t)\beta.
\end{align*}

ここで， を で微分すると，

\begin{align*}
\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} &= 2(\gamma-\alpha)t+\alpha\\
&> 0
\end{align*}

であるから， は について単調増加．

実数 が を動くときに点 の描く曲線と，線分 によって囲まれる部分の面積は，

\begin{align*}
\int_0^\gamma y\,dx &= \int_0^1 y\cdot \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t\\
&= \int_0^1 t(1-t)\beta\cdot \{2(\gamma-\alpha)t+\alpha\}\,\mathrm{d}t\\
&= \beta \int_0^1 [-2(\gamma-\alpha)t^3+\{2(\gamma-\alpha)-\alpha\}t^2+\alpha t]\,\mathrm{d}t\\
&= \beta\Big[-\dfrac{1}{2}(\gamma-\alpha)t^4+\dfrac{1}{3}(2\gamma-3\alpha)t^3+\dfrac{1}{2}\alpha t^2\Big]_0^1\\
&= \beta \left\{-\dfrac{1}{2}(\gamma-\alpha)+\dfrac{1}{3}(2\gamma-3\alpha)+\dfrac{1}{2}\alpha\right\}\\
&= \dfrac{\beta\gamma}{6}\\
&= \dfrac{S}{3}.
\end{align*}