神大2017年度理科系第1問

問題.

$a, b$ を $0\leqq a < b\leqq 1$ を満たす実数とし,

点 A, B の座標をそれぞれ $(a, 1-a^2), (b, 1-b^2)$ とする.

また原点を O, 点 $(0,1-a^2), (a, 1-b^2), (a,0), (b,0)$ をそれぞれ C, D, E, F とする. 長方形 COEA と長方形 DEFB の面積の和を $S$ とする. 以下の問に答えよ.

(1) $S$ を $a, b$ で表せ.

(2) $b$ の値を固定し, $a$ の値のみを変化させるとき, $S$ が最大となる $a$ を $b$ を用いて表せ.

(3) $a, b$ の値をともに変化させるとき, $S$ の最大値を $M$ とおく. $M^2$ を求め, $S<\dfrac{1}{2}$ を示せ.

2 変数の関数の最大値に関する問題です.

途中の計算は少し大変ですが, 小問の流れに従って解いていけばそこまで難しくはありません.

解答例.

(1) 四角形 COEA の面積は $a(1-a^2)$ ,

四角形 DEFB の面積は $(b-a)(1-b^2)$ なので,

\begin{align*}
S &= a(1-a^2) + (b-a)(1-b^2)\\
&= -a^3-b^3+ab^2+b.
\end{align*}

(2) $S$ を, $b$ を定数とみなして $a$ で微分すると,

\begin{align*}
\dfrac{dS}{da} &= -3a^2+b^2\\
&= -(3a-\sqrt{3}b)\left(a+\frac{b}{\sqrt{3}}\right)
\end{align*}

よって, $\dfrac{dS}{da}=0$ となるのは $a=\dfrac{\sqrt{3}}{3}b$ のとき.

増減表を描くと,

$\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|}\hline a & 0 & \cdots & \frac{\sqrt{3}}{3}b & \cdots & b\\ \hline \frac{dS}{da} & & + & 0 & - & \\ \hline S & -b^3+b & \nearrow & & \searrow & \\\hline \end{array}$

よって, $a = \frac{\sqrt{3}}{3}b$ のとき $S$ は最大となる.

(3) $S$ に $a=\dfrac{\sqrt{3}}{3}b$ を代入すると,

\begin{align*}
S &= -\left(\frac{\sqrt{3}}{3}b\right)^3-b^3+\frac{\sqrt{3}}{3}b\cdot b^2+b\\
&= -\frac{9-2\sqrt{3}}{9}b^3+b
\end{align*}

ここで, $f(b) = -\frac{9-2\sqrt{3}}{9}b^3+b$ とおくと, $b$ の値を変化させたときの $f(b)$ の最大値が $M$ である.

$f(b)$ を $b$ で微分すると,

\begin{align*}
f^\prime(b) &= -\frac{9-2\sqrt{3}}{3}b^2+1
\end{align*}

となるので, $f^\prime(b)=0$ となるのは $b=\sqrt{\dfrac{3}{9-2\sqrt{3}}}$ のとき.

$b_0 = \sqrt{\dfrac{3}{9-2\sqrt{3}}}$ として, 増減表を描くと,

$\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|}\hline b & 0 & \cdots & b_0 & \cdots & 1\\ \hline f^\prime(b) & & + & 0 & - & \\ \hline f(b) & & \nearrow & & \searrow & \\\hline \end{array}$

よって,

\begin{align*}
M &= f(b_0)\\
&= -\frac{9-2\sqrt{3}}{9}b_0^3+b_0\\
&= \left(-\frac{9-2\sqrt{3}}{9}b_0^2+1\right)b_0\\
&= \left\{-\frac{9-2\sqrt{3}}{9}\left(\sqrt{\dfrac{3}{9-2\sqrt{3}}}\,\right)^2+1\right\}\sqrt{\dfrac{3}{9-2\sqrt{3}}}\\
&= \frac{2}{3}\sqrt{\dfrac{3}{9-2\sqrt{3}}}
\end{align*}

2乗すると,

\begin{align*}
M^2 &= \frac{4}{9}\cdot\frac{3}{9-2\sqrt{3}}\\
&= \frac{4}{3\left(9-2\sqrt{3}\right)}\\
&= \frac{4\left(9+2\sqrt{3}\right)}{207}
\end{align*}

$M^2$ と $1/4$ との大小を比較します.

\begin{align*}
M^2-\frac{1}{4} &= \frac{4\left(9+2\sqrt{3}\right)}{207}-\frac{1}{4}\\
&= \frac{16\left(9+2\sqrt{3}\right)-207}{207\cdot 4}\\
&= \frac{32\sqrt{3}-63}{207\cdot 4}
\end{align*}

ここで,

\begin{align*}
\left(32\sqrt{3}\right)^2-63^2 &= 3072-3969\\
&< 0
\end{align*}

より, $32\sqrt{3}-63<0$ なので, $M^2-\frac{1}{4}<0$ , つまり $M^2<\frac{1}{4}$ となります.