今回は重複組合せを利用する有名な問題を紹介します．Q. を展開して整理したとき，項はいくつあるか． まずは，5乗ではなく2乗の場合を，実際に式を展開して計算してみます． 公式として覚えているかもしれませんが，ここでは分配法則を使って展開すると，\b…

重複組合せの問題Vol.2重複組合せについては以前の記事を見てください．前回の記事(重複組合せVol.1)では，重複組合せの代表的な問題として次のような問題を紹介しました．Q. を自然数とする． を満たす 0 以上の整数 の組はいくつあるか．この問題の答えは…

重複組合せの問題Vol.3重複組合せについては前回の記事を見てください．これまでにVol.1, Vol.2ではつぎのような問題を扱いました． Vol.1 を自然数とする． を満たす 0 以上の整数 の組はいくつあるか．Vol.2 を自然数とする． , を満たす整数 の組はいくつ…

重複組合せの問題Vol.1重複組合せについては前回の記事を見てください．この記事では，重複組合せの代表的な問題を１つ紹介します．Q1. を自然数とする． を満たす 0 以上の整数 の組はいくつあるか． の場合を例として，実際に書き出してみましょう．はそれ…

二項係数と組み合わせ問題二項係数に関するいろいろな公式があります．これらは数式として証明できるだけでなく，組み合わせの数え上げ問題として解釈することができます．今回は，その例をいくつか紹介します．二項係数： \begin{align*} {}_nC_k = \dfrac{…

前回の記事で, 複素数の極形式を説明しました. 極形式\begin{align*} z = r(\cos\theta+i\sin\theta) \end{align*}() は虚数単位 ここでは, 極形式を用いて解く問題とその解法を紹介します. 極形式を使う問題の例.問 1.次の方程式の解 をすべて求めよ.\begin…

円周率πが無理数であることの証明 円周率(円の周の長さと直径の比)が無理数である, つまり (整数)/(整数) と分数の形で表せないことはよく知られています.や, が無理数であることの証明は高校でもならいますが, 円周率や, 自然対数の底が無理数であることは…

漸化式とは, 数列を帰納的に定義する式です. つまり, 第 項を第 1 項～第 項と を用いて表す方法です. 例. 初項, 公差の等差数列 このような漸化式から数列の一般項を求める問題は大学入試などでよく問われます. 漸化式を解くには, 漸化式の形に応じてさまざ…

無限級数\begin{align*} \sum_{k=1}^\infty a_n \end{align*}が収束する値を求める問題の例を紹介します. 1. 無限等比級数数列が初項, 公比の等比数列の場合,1 . のとき収束し, 2 . のとき発散する. (のときは振動, 初項でならに発散, でならに発散) 例1.初…

数列の極限の例数列の極限の定義と, その性質(はさみうちの原理など)を紹介した記事はこちら.--->数列の極限 この記事では, 数列の極限の実際の例を見ていきます.基本となる極限(1) の累乗(2) 実数の乗のときは振動する. 不定形の極限.(1) ()(2) ()(3) ()(4)…

指数方程式指数方程式とは, 次に示すような変数が指数部分に含まれる方程式です.\begin{align*} 2^{2x+1}-9\cdot 2^x+4=0 \end{align*} このような場合, 次の手順で解きます. 指数部分(今回の場合)をとおく. 方程式をについての方程式に直す. について解く. …

対数方程式対数方程式は, 次のような変数が対数の真数や底の部分に含まれる方程式です. \begin{align} (\textrm{A}) &: \log_3(x+2)=\log_9(x+14)+\dfrac{1}{2}\log_3{2}\\ (\textrm{B}) &: \log_x{100}-\log_{10}{x}+1=0 \end{align} 対数方程式は次の手順…

常用対数の利用例(桁数を求める)常用対数とは常用対数は底が10である対数(など)です.対数についてはこちらを見てください.のとき, 対数の定義から, となります. 桁数を求める常用対数を利用すると, 大きな数(例えば)が何桁あるかや, 小さい数(例えば)につい…

[tex: \displaystyle\left(\sum_{k=1}^{n} a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n} b_k^2\right)\geqq\left(\sum_{k=1}^{n} a_kb_k\right)^2]