円周率πが無理数であることの証明
円周率(円の周の長さと直径の比)が無理数である, つまり (整数)/(整数) と分数の形で表せないことはよく知られています.
や,
が無理数であることの証明は高校でもならいますが, 円周率
や, 自然対数の底
が無理数であることは事実として教えられるだけです.
そこで, 今回は円周率が無理数である証明の一つ(Nivenの方法)を紹介します.
矛盾が生じるまでが長いので, 不安になるかもしれませんが, 正しく証明できています.
Niven の方法によるπが無理数である証明
証明の手順
注意. ) 2.の
証明.
上の手順に示したように
3. より,
であることを用いて,
\begin{align*}
f_n(\pi-x) &= \dfrac{1}{n!}(\pi-x) ^ n(a-b(\pi-x)) ^ n\\
&= \dfrac{1}{n!}(\pi-x) ^ n(a-b\pi+bx) ^ n\\
&= \dfrac{1}{n!}(\pi-x) ^ n (bx) ^ n\\
&= \dfrac{1}{n!}(b(\pi-x)) ^ nx ^ n\\
&= \dfrac{1}{n!}(a-bx) ^ nx ^ n\\
&= f_n(x)
\end{align*}
この両辺をで
回微分すると,
\begin{align*}
(-1) ^ {2i}f_n ^ {(2i)}(\pi-x) &= f_n ^ {(2i)}(x)\\
\therefore f_n ^ {(2i)}(\pi-x) &= f_n ^ {(2i)}(x)
\end{align*}
よって,
\begin{align*}
F_n(\pi-x) &= \sum_{i=0} ^ n (-1) ^ if_n ^ {(2i)}(\pi-x)\\
&= \sum_{i=0} ^ n (-1) ^ if_n ^ {(2i)}(x)\\
&= F_n(x)
\end{align*}
となるので, の場合を考えれば,
.
次に, 中の
を2項展開すると,
\begin{align*}
f_n(x) = \dfrac{1}{n!}\sum_{j=0} ^ n {}_nC_j\cdot a ^ j(-b) ^ {n-j}x ^ {2n-j}
\end{align*}
のとき,
は
の1次以上の項の和なので,
のとき,
は
の定数項に等しく,
となりますが, これは整数です.
よって, は整数同士の足し算, 引き算の結果整数となります.
4.
は
の
次多項式なので,
となることを用いて,
\begin{align*}
F_n ^ {\prime\prime}(x)+F_n(x) &= \sum_{i=0} ^ n (-1) ^ if_n ^ {(2i+2)}(x)+\sum_{i=0} ^ n(-1) ^ if_n ^ {(2i)}(x)\\
&= \sum_{i=0} ^ {n-1}(-1) ^ if_n ^ {(2i+2)}(x)+\sum_{i=0} ^ n(-1) ^ if_n ^ {(2i)}(x)\\
&= -\sum_{i=1} ^ n (-1) ^ if_n ^ {(2i)}(x)+\sum_{i=0} ^ n(-1) ^ if_n ^ {(2i)}(x)\\
&= f_n(x)
\end{align*}
よって,
\begin{align*}
f_n(x)\sin{x} &= F_n ^ {\prime\prime}(x)\sin{x}+F_n(x)\sin{x}\\
&= (F_n ^ {\prime\prime}(x)\sin{x}+F_n ^ \prime(x)\cos{x})-(F_n ^ \prime(x)\cos{x}-F_n(x)\sin{x})\\
&= (F_n(x)\sin{x}-F_n(x)\cos{x})^\prime
\end{align*}
となるので,
5.
のとき, 常に
であるから,
. よって, 4. の結果から,
.
ここで,
\begin{align*}
x(\pi-x) &= -\left(x-\frac{\pi}{2}\right) ^ 2+\left(\frac{\pi}{2}\right) ^ 2\\
&\leqq\left(\frac{\pi}{2}\right) ^ 2
\end{align*}
なので,
\begin{align*}
f_n(x) &= \frac{1}{n!}x ^ nb ^ n(\pi-x) ^ n\\
&\leqq\frac{b ^ n}{n!}\left(\frac{\pi}{2}\right) ^ {2n}
\end{align*}
\begin{align*}
F_n(0) &= \frac{1}{2}\int_0 ^ \pi f_n(x)\sin{x}\,dx\\
&\leqq\frac{1}{2}\int_0 ^ \pi \frac{b^n}{n!}\left(\frac{\pi}{2}\right) ^ {2n}\sin{x}\,dx\\
&\leqq\frac{1}{2}\int_0 ^ \pi \frac{b^n}{n!}\left(\frac{\pi}{2}\right) ^ {2n}\,dx\\
&= \frac{b ^ n}{n!}\left(\frac{\pi}{2}\right) ^ {2n+1}\\
&\to 0\quad (n\to\infty)
\end{align*}
これは, 十分大きなに対して
となることを表しているので,
がすべての
について整数であることに矛盾する.