コーシー・シュワルツの不等式とその利用

コーシー・シュワルツ(Cauchy-Schwartz)の不等式

・ $(a^2+b^2)(x^2+y^2)\geqq (ax+by)^2$

等号は $a:x=b:y$ のときのみ．

・ $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\geqq(ax+by+cz)^2$

等号は $a:x=b:y=c:z$ のときのみ．

・ $(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)\geqq(a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n)^2$

等号は $a_1:x_1=a_2:x_2=\cdots=a_n:x_n$ のときのみ．

但し， $a, b, c, x, y, z, a_1, \cdots, a_n, x_1, \cdots, x_n$ は実数.

和の記号を使って表すと,

$\displaystyle\left(\sum_{k=1}^{n} a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n} b_k^2\right)\geqq\left(\sum_{k=1}^{n} a_kb_k\right)^2$

となります.

例題.

問.

$x^2+y^2=1$ を満たすように $x, y$ を変化させるとき， $2x+3y$ の取り得る最大値を求めよ.

このタイプの問題は普通は $2x+3y=k$ とおいて，この式を直線の方程式と見なすことで，円 $x^2+y^2=1$ と交点を持つ状態で動かし，直線の $y$ 切片の最大値を求める，ということをします．

しかし, コーシー・シュワルツの不等式を使えば簡単に解けます.

コーシー・シュワルツの不等式より，

\begin{align}
(2^2+3^2)(x^2+y^2)\geqq (2x+3y)^2
\end{align}

ところで， $x^2+y^2=1$ なので上の不等式の左辺は $13$ となり，

\begin{align}
13\geqq(2x+3y)^2
\end{align}

よって，

\begin{align}
2x+3y \leqq \sqrt{13}
\end{align}

となり最大値は $\sqrt{13}$ となります．

コーシー・シュワルツの不等式の証明.

この不等式にはきれいな証明方法があるので紹介します．

(この方法以外にも，帰納法でも証明できます．それは別の記事で紹介します．)

任意の実数 $t$ に対して,

\begin{align}
f(t)=\sum_{k=1}^{n}(a_kt+b_k)^2\geqq 0
\end{align}

が成り立つ(実数の2乗は非負)．

左辺を展開すると，

\begin{align}
\left(\sum_{k=1}^{n}a_k^2\right)t^2+2\left(\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\right)t+\left(\sum_{k=1}^{n}b_k^2\right)\geqq 0
\end{align}

これが任意の $t$ について成り立つので， $f(t)=0$ の判別式を $D$ とすると $D/4\leqq 0$ が成り立ち，

\begin{align}
\left(\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\right)^2-\left(\sum_{k=1}^{n}a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n}b_k^2\right)\leqq 0
\end{align}

よって,

\begin{align}
\left(\sum_{k=1}^{n} a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n} b_k^2\right)\geqq\left(\sum_{k=1}^{n} a_kb_k\right)^2
\end{align}

その他の形のコーシー・シュワルツの不等式

コーシー・シュワルツの不等式というと上で紹介したものが有名ですが，実はほかに以下のようなものがあります.

1. (複素数)

$\displaystyle \left(\sum_{k=1}^{n} |\alpha_k|^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n}|\beta_k|^2\right)\geqq\left|\sum_{k=1}^{n}\alpha_k\beta_k\right|^2$

$\alpha_k, \beta_k$ は複素数で，複素数の絶対値は， $\alpha=a+bi$ に対して $|\alpha|^2=a^2+b^2$ .

2. (定積分)

$\displaystyle \int_a^b \sum_{k=1}^n \left\{f_k(x)\right\}^2dx\cdot\int_a^b\sum_{k=1}^n \left\{g_k(x)\right\}^2dx\geqq\left\{\int_a^b\sum_{k=1}^n f_k(x)g_k(x)dx\right\}^2$

但し，閉区間[a, b]で $f_k(x), g_k(x)$ は連続かつ非負，また，[tex: a

これらも上の証明方法で同様に示すことができます.

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コーシー・シュワルツの不等式とその利用

例題.

コーシー・シュワルツの不等式の証明.

その他の形のコーシー・シュワルツの不等式