重複組合せの問題Vol.3
重複組合せについては前回の記事を見てください.これまでにVol.1, Vol.2ではつぎのような問題を扱いました.
Vol.1 を自然数とする. を満たす 0 以上の整数 の組はいくつあるか.
Vol.2 を自然数とする. , を満たす整数 の組はいくつあるか.
今回は次のような問題を考えます.
Vol.3 を自然数とする. を満たす0以上の整数 の組はいくつあるか.
の和がちょうど ではなく, 以下となる組を考えます.
考え方.
不等式のままでは扱いにくいので,等式を作ります.どのようにするかというと,
という新しい変数を導入すると,となります.
すると,
・を満たす0以上の整数の組
と,
・を満たす0以上の整数の組
は1対1に対応することがわかります.
よって,変数を一つ増やすことでVol.1のパターンに問題を書き換えることができたので,
\begin{align*}
{}_4H_n &= {}_{n+3}C_n\\
&= \dfrac{1}{6}(n+3)(n+2)(n+1)
\end{align*}
となります.
一般の場合
変数の数を 個に増やします. を自然数とする. を満たす0以上の整数 の組はいくつあるか.
この場合も,新しい変数 を導入すると,問題は以下のように書き換えることができます.
を自然数とする. を満たす0以上の整数 の組はいくつあるか.
よって,\begin{align*}
{}_{m+1}H_{n} &= {}_{n+m}C_{n}\\
&= {}_{n+m}C_{m}
\end{align*}
となります.
別の求め方から得られる等式
この問題の答えを別の求め方をしてみます.Vol.1でも説明しているように,を満たすの組の個数は
です.
よって,Vol.3の問題の答えは,これを について足し合わせたものになるので,
\begin{align*}
\sum_{i=0}^n {}_{m+i-1}C_{i}
\end{align*}
これが,上で求めたものと一致するはずなので,
\begin{align*}
\sum_{i=0}^n {}_{m+i-1}C_i = {}_{n+m}C_{m}
\end{align*}
という等式が得られます.