数学の力

京大生が数学の定理・公式の証明や入試問題の解説をするブログ.

トップ > 応用例・利用例 > 無限級数の問題例

無限級数の問題例

応用例・利用例

スポンサードリンク

無限級数

\begin{align*}
\sum_{k=1}^\infty a_n
\end{align*}

が収束する値を求める問題の例を紹介します.

 

1. 無限等比級数

数列 a_nが初項 a\neq 0, 公比 rの等比数列の場合,

1 . |r|<1のとき収束し,
\begin{align*}\sum_{k=1} ^ n ar ^ {k-1}=\dfrac{a}{1-r} \end{align*}
2 . |r|\geqq 1のとき発散する.
( r\leqq -1のときは振動,
初項 a>0で r\geqq 1なら \inftyに発散,
a < 0で r\geqq 1なら -\inftyに発散)
 

例1.

初項 2, 公比 -\dfrac{1}{2}の無限等比級数の場合, 収束して,
\begin{align*} \sum_{k=1} ^ \infty 2\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) ^ k &= \dfrac{2}{1-(-\frac{1}{2})}\\ &= \dfrac{4}{3} \end{align*}
 

例2.

初項 3, 公比 2の無限等比級数の場合, (公比) \geqq 1より発散
\begin{align*} \sum_{k=1} ^ \infty 3\cdot2 ^ {k-1} = \infty \end{align*}
 

例3. 循環小数

循環小数
x=0.\dot{1}2\dot{3} = 0.123123123\cdots
は,
\begin{align*} x &= \frac{123}{1000}+\frac{123}{1000^2}+\frac{123}{1000^3}\cdots\\ &= \frac{123}{1000}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{1000}}\\ &= \frac{123}{999}\\ &= \frac{41}{333} \end{align*}

2. 等差数列と等比数列の積

初項 a, 公差 dの等差数列 \{a_n\}と
初項 b, 公比 rの等比数列 \{b_n\}　の積
\begin{align*} c_n&= a_nb_n\\ &= (a+(n-1)d)\cdot br^{n-1} \end{align*}
について,
\begin{align*} S_n = \sum_{k=1}^n c_k \end{align*}
とおくと,
\begin{align} S_n &= ab + (a+d)br +  \cdots + (a+(n-1)d)br ^ {n-1}\\ rS_n &=      abr + \cdots + (a+(n-2)d)br ^ {n-1} +(a+(n-1)d)br^n \end{align}
(1)-(2)を計算して
\begin{align*} (1-r)S_n &= ab + dbr + \cdots+dbr ^ {n-1}-(a+(n-1)d)br^n\\ &= ab+dbr\dfrac{1-r ^ {n-1}}{1-r}-(a+(n-1)d)br^n \end{align*}
となるので, |r|<1のとき S_nは収束します.
 
下の具体的な例を見た方が分かりやすいです.
 

例4.

\begin{align*} S = 1 + \frac{2}{5} + \frac{3}{25} + \frac{4}{125}+\cdots \end{align*}
とするとき,
\begin{align*} \frac{1}{5}S = \frac{1}{5} + \frac{2}{25} + \frac{3}{125} + \cdots \end{align*}
を元の Sの式から引いて,
\begin{align*} \frac{4}{5}S &= 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{25}+ \frac{1}{125} + \cdots\\ &= \frac{1}{1-\frac{1}{5}}\\ &= \frac{5}{4} \end{align*}
よって,
\begin{align*}
S = \frac{25}{16}
\end{align*}
 

3. 部分分数分解できる場合

各項 a_nを部分分数分解することで, n項目までの和 S_nを求めることができる場合がある.
 

例5.

\begin{align*} S_n &= \sum_{k=1} ^ n \frac{1}{4k ^ 2-1}\\ &= \frac{1}{2}\sum_{k=1} ^ n \left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)\\ &= \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)\\ & \to\frac{1}{2}\quad(n\to\infty) \end{align*}