数列の極限の例

数列の極限の定義と, その性質(はさみうちの原理など)を紹介した記事はこちら.

この記事では, 数列の極限の実際の例を見ていきます.

基本となる極限

(1) $n$ の累乗

$\begin{align*} \lim_{n\to\infty} n ^ k=\left\{ \begin{array}{ll} {+}\infty & (k > 0)\\ 1 & (k = 0)\\ 0 & (k < 0) \end{array}\right. \end{align*}$

(2) 実数の $n$ 乗

$\begin{align*} \lim_{n\to\infty}r ^ n =\left\{ \begin{array}{ll} {+}\infty & (r > 1)\\ 1 & (r = 1)\\ 0 & (-1 < r < 1) \end{array}\right. \end{align*}$

$r\leqq -1$ のときは振動する.

不定形の極限.

(1) ( $\infty/\infty$ )

$\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\frac{n ^ 2+n+1}{2n ^ 2-3n+1}&= \lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n ^ 2}}{2-\frac{3}{n}+\frac{1}{n ^ 2}}\\ &= \frac{1}{2} \end{align*}$

(2) ( $\infty/\infty$ )

$\begin{align*} \lim_{n\to\infty} \frac{n ^ 2+7}{3n-5} &= \lim_{n\to\infty}\frac{n+\frac{7}{n}}{3-\frac{5}{n}}\\ &= \infty \end{align*}$

(3) ( $\infty-\infty$ )

$\begin{align*} \lim_{n\to\infty} (n ^ 2-n) &= \lim_{n\to\infty} n(n-1)\\ &= \infty \end{align*}$

(4) ( $\infty-\infty$ )

$\begin{align*} \lim_{n\to\infty}(\sqrt{n ^ 2+9n}-n) &= \lim_{n\to\infty}\frac{(n ^ 2+9n)-n^2}{\sqrt{n ^ 2+9n}+n}\\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{9}{\sqrt{1+\frac{9}{n}}+1}\\ &= \frac{9}{2} \end{align*}$

(5)

$\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\frac{5 ^ n+2 ^ n}{5^n-2^n}&= \lim_{n\to\infty}\frac{1+\left(\frac{2}{5}\right) ^ n}{1-\left(\frac{2}{5}\right) ^ n}\\ &= 1 \end{align*}$