指数方程式, 指数不等式

指数方程式とは, 次に示すような変数 $x$ が指数部分に含まれる方程式です.

\begin{align*}
2^{2x+1}-9\cdot 2^x+4=0
\end{align*}

このような場合, 次の手順で解きます.

今回の場合, $y=2^x$ とおくと, 方程式は

\begin{align*}
2y^2-9y+4&= 0\\
(2y-1)(y-4)&= 0
\end{align*}

となり, $\displaystyle y=\frac{1}{2}, 4$ .

$x$ に戻すと, $\displaystyle 2^x=\frac{1}{2}, 4$ より, $x=-1, 2$ となります.

指数不等式は,

\begin{align*}
2^{2x+1}-9\cdot 2^x+4\geqq 0
\end{align*}

のように, 不等式の指数部分に変数 $x$ が含まれるものをいいます.

この場合も指数方程式の場合と同じように, $y=2^x$ とおいて解きます.

但し, 次のことだけ注意が必要です.

(1) $a>1$ のとき, $a^\alpha>b^\beta\Longleftrightarrow \alpha>\beta$

(2) $0 < a < 1$ のとき, $a^\alpha > b^\beta\Longleftrightarrow \alpha < \beta$

底の部分が1より小さい場合は不等号の向きが逆になります.

上の例では, 左辺は指数方程式の例と同じなので, 因数分解して不等式を解くと,

\begin{align*}
(2y-1)(y-4)\geqq 0\\
y\leqq \frac{1}{2},\,4\leqq y\\
\therefore 2^x\leqq\frac{1}{2}=2^{-1},\, 2^2=4\leqq 2^x
\end{align*}

((底) $=2>1$ なので),

\begin{align*}
x\leqq -1, 2\leqq x
\end{align*}

となります.

数学の力