京大2022年度理系第2問

問題．

箱の中に1から $n$ までの番号がついた $n$ 枚の札がある．ただし $n\geqq5$ とし，同じ番号の札はないとする．この箱から3枚の札を同時に取り出し，札の番号を小さい順に $X, Y, Z$ とする．このとき， $Y-X\geqq2$ かつ $Z-Y\geqq2$ となる確率を求めよ．

数字が連続しないような3枚を取り出す確率を求めよ，という問題です．

解説．

3枚の札の取り出し方の総数は
\begin{align*}
{}_nC_3 &= \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)
\end{align*}
通り．

次に， $Y-X\geqq2$ かつ $Z-Y\geqq2$ を満たす取り出し方を数えますが，ここでは $Y$ の値ごとに数えることにします．

$Y-X\geqq2$ かつ $Z-Y\geqq2$ を満たすとき $3\leqq Y\leqq n-2$ であり，
$Y=k$ のとき，

$Y-X\geqq2$ を満たす $X$ は $X=1, \ldots, k-2$ の $k-2$ 通り
$Z-Y\geqq2$ を満たす $Z$ は $Z=k+2, \ldots, n$ の $n-k-1$ 通り

なので， $Y-X\geqq2$ かつ $Z-Y\geqq2$ を満たす取り出し方の総数は

$\begin{align} \sum_{k=3}^{n-2}(k-2)(n-k-1) &= \sum_{m=1}^{n-4}m(n-m-3)\\ &= -\sum_{m=1}^{n-4}m^2 + (n-3)\sum_{m=1}^{n-4}m\\ &= -\frac{1}{6}(n-4)(n-3)(2n-7) + (n-3)\cdot\frac{1}{2}(n-4)(n-3)\\ &= \frac{1}{6}(n-3)(n-4)\{-(2n-7)+3(n-3)\}\\ &= \frac{1}{6}(n-2)(n-3)(n-4). \end{align}$

ただし，1行目では計算を楽にするため $m=k-2$ とおいています．

したがって，求める確率は
$\begin{align} \frac{\frac{1}{6}(n-2)(n-3)(n-4)}{\frac{1}{6}n(n-1)(n-2)} = \frac{(n-3)(n-4)}{n(n-1)}. \end{align}$

追記

上の計算結果をみると， $Y-X\geqq2$ かつ $Z-Y\geqq2$ を満たす取り出し方の総数は ${}_{n-2}C_3$ になっていることがわかりますが，これは次のように説明することができます．

1〜 $n$ から連続しない3個を取り出す場合の数は，白玉 $n-3$ 個と赤玉3個を，赤玉が隣り合わないように1列に並べる場合の数と同じです(取り出す3つの数字が赤玉の位置に対応)．

白玉 $n-3$ 個と赤玉3個を，赤玉が隣り合わないように1列に並べたとき，左側の2つの赤玉の右隣にある白玉を取り除くと，白玉 $n-5$ 個と赤玉3個を並べた状態が得られます．逆に，白玉 $n-5$ 個と赤玉3個を1列に並べた状態に対して，左側の2つの赤玉の右隣に1個ずつ白玉を追加することで，白玉 $n-3$ 個と赤玉3個を赤玉が隣り合わないように1列に並べた状態が得られます．

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つまり，求めたかった場合の数は白玉 $n-5$ 個と赤玉3個を1列に並べる場合の数に等しくなるので， ${}_{n-2}C_3$ に一致します．

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