プロジェクトオイラー 76. 〜Counting Summations〜

No.76 Counting Summations

問題.

5は正整数の和として:\begin{align*}
&4+1\\
&3+2\\
&3+1+1\\
&2+2+1\\
&2+1+1+1\\
&1+1+1+1+1
\end{align*}の6通りに書ける．では，100は正整数の和として何通りに書けるか．

考え方とプログラム例.(c++)

動的計画法です．先に問題77. の記事を書きましたが，考え方はほとんど同じです．

整数を以下の正整数の和として表す方法の個数を通りとすると，以下の漸化式が成り立つ：

の場合について，整数を使わない場合が通り，整数を使う場合が通りです．

以下がプログラム例です．メモ化再帰？を使ってみました．

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

vector<vector<int>> F(101, vector<int>(100, 0));

ll f(int n, int k){
	ll ret = 0;
	if(F[n][k] > 0)
		return F[n][k];
	if(n - k >= 0)
		ret += f(n-k, k);
	ret += f(n, k-1);
	F[n][k] = ret;
	return ret;
}

int main(){
	for(int n = 0; n <= 100; n++)	F[n][1] = 1;
	cout << f(100, 99) << endl;
	return 0;
}

プロジェクトオイラー77. ~ Prime Summations ~

No.77 Prime Summations

問題.

10は素数の和として:\begin{align*}
&7+3\\
&5+5\\
&5+3+2\\
&3+3+2+2\\
&2+2+2+2+2
\end{align*}の5通りに書ける．では，素数の和として5000通り以上の方法で書くことのできる最小の数は何か．

考え方とプログラム例.(c++)

答えはあまり大きな数にはならないと予想されるので，考える範囲の上限を仮にとしておきます．

以下の素数を計算しておく必要がありますが，これはエラトステネスの篩を用いれば計算できるので，番目の素数をとしておきます．

()

整数を以上の素数の和として表す方法の個数を通りとすると，以下の漸化式が成り立つ：

\begin{align*}
g(n, k) &=\begin{cases}
1,& n=0,\\
0,&p_k>n\geq1,\\
g(n, k+1) + g(n-p_k, k),&p_k\leq n.
\end{cases}
\end{align*}

の場合について，素数を使わない場合が通り，素数を使う場合が通りです．

以下がプログラム例です．上の漸化式はの値が大きい順に計算しないといけないので，ここでは関数の再帰を用いて実装しています．

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int g(int n, int k, vector<int>& primes){
	if(n == 0)
		return 1;
	if(primes[k] > n)
		return 0;
	else
		return (g(n, k+1, primes) + g(n-primes[k], k, primes));
}

int main(){
	int N = 1000; //考える最大値(仮)
	vector<int> num(N+1, 0);
	vector<int> primes; //N以下の素数列挙
	for(int i = 2; i <= N; i++){
		if(num[i] == 0){
			primes.push_back(i);
			if(i > sqrt(N))
				continue;
			for(int n = 2 * i; n <= N; n += i)
				num[n] = 1;
		}
	}

	for(int n = 1; n <= N; n++){
		int cnt = g(n, 0, primes);
		if(cnt >= 5000){
			cout << n << ", " << cnt << "通り" << endl;
			break;
		}
	}
	return 0;
}