数学の力

京大生が数学の定理・公式の証明や入試問題の解説をするブログ.

京大2022年度理系第3問

問題.

n自然数とする.3つの整数n^2+2, n^4+2, n^6+2の最大公約数A_nを求めよ.

n^2+2, n^4+2, n^6+2因数分解できないので,互除法を使って考えることになります.

ユークリッドの互除法
ABで割ったときの余りをCとするとき,ABの最大公約数はBCの最大公約数に等しい

解説.

まず,n^4+2, n^6+2n^2+2で割ったときの余りをそれぞれ求めると,

\begin{align*}
n^4+2 &= (n^4-4)+6\\
&= (n^2+2)(n^2-2)+6\\
n^6+2 &= (n^6+8)-6\\
&= (n^2+2)(n^4-2n^2+4)-6
\end{align*}

よって,最大公約数A_nn^2+26の最大公約数に等しい.

さらに,n^2+2を6で割ったときの余りをR_nとすると,A_nR_n6の最大公約数に等しい.


あとは,nを6で割った余りで場合分けして調べていきます.


(i) n=6m(mは整数)と書けるとき
\begin{align*}
n^2+2 &= (6m)^2+2\\
&= 6\cdot 6m+2
\end{align*}
より,R_n=2であり,A_n=2.

(ii) n=6m\pm 1(mは整数)と書けるとき
\begin{align*}
n^2+2 &= (6m\pm 1)^2+2\\
&= 6(6m^2\pm 2m)+3
\end{align*}(複号同順)
より,R_n=3であり,A_n=3.

(iii) n=6m\pm 2(mは整数)と書けるとき
\begin{align*}
n^2+2 &= (6m\pm 2)^2+2\\
&= 6(6m^2\pm 4m+1)
\end{align*}(複号同順)
より,R_n=0であり,A_n=6.

(iv) n=6m+3(mは整数)と書けるとき
\begin{align*}
n^2+2 &= (6m+3)^2+2\\
&= 6(6m^2+6m+1)+5
\end{align*}
より,R_n=5であり,A_n=1.

したがって,(i)〜(iv)より,
n6で割った余りが0のときA_n=2
1,5のときA_n=3
2,4のときA_n=6
3のときA_n=1


追記

nを6で割った余りが1, 5のとき,および2,4のときをまとめて計算していますが,これは場合分けをする前に具体的なnの値n=1, 2, 3, 4, 5, 6の場合を計算してみることで,まとめて扱ってよいかどうかを判断できます.

京大2022年度理系第2問

問題.

箱の中に1からnまでの番号がついたn枚の札がある.ただしn\geqq5とし,同じ番号の札はないとする.この箱から3枚の札を同時に取り出し,札の番号を小さい順にX, Y, Zとする.このとき,Y-X\geqq2かつZ-Y\geqq2となる確率を求めよ.

数字が連続しないような3枚を取り出す確率を求めよ,という問題です.

解説.

3枚の札の取り出し方の総数は
\begin{align*}
{}_nC_3 &= \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)
\end{align*}
通り.

次に,Y-X\geqq2かつZ-Y\geqq2を満たす取り出し方を数えますが,ここではYの値ごとに数えることにします.

Y-X\geqq2かつZ-Y\geqq2を満たすとき3\leqq Y\leqq n-2であり,
Y=kのとき,

  • Y-X\geqq2 を満たす XX=1, \ldots, k-2k-2 通り
  • Z-Y\geqq2 を満たす ZZ=k+2, \ldots, nn-k-1 通り

なので,Y-X\geqq2かつZ-Y\geqq2を満たす取り出し方の総数は

\begin{align}
 \sum_{k=3}^{n-2}(k-2)(n-k-1) &= \sum_{m=1}^{n-4}m(n-m-3)\\
 &= -\sum_{m=1}^{n-4}m^2 + (n-3)\sum_{m=1}^{n-4}m\\
 &= -\frac{1}{6}(n-4)(n-3)(2n-7) + (n-3)\cdot\frac{1}{2}(n-4)(n-3)\\
 &= \frac{1}{6}(n-3)(n-4)\{-(2n-7)+3(n-3)\}\\
 &= \frac{1}{6}(n-2)(n-3)(n-4).
\end{align}

ただし,1行目では計算を楽にするためm=k-2とおいています.

したがって,求める確率は
\begin{align}
 \frac{\frac{1}{6}(n-2)(n-3)(n-4)}{\frac{1}{6}n(n-1)(n-2)} = \frac{(n-3)(n-4)}{n(n-1)}.
\end{align}

追記

上の計算結果をみると,Y-X\geqq2かつZ-Y\geqq2を満たす取り出し方の総数は{}_{n-2}C_3になっていることがわかりますが,これは次のように説明することができます.

1〜nから連続しない3個を取り出す場合の数は,白玉n-3個と赤玉3個を,赤玉が隣り合わないように1列に並べる場合の数と同じです(取り出す3つの数字が赤玉の位置に対応).

白玉n-3個と赤玉3個を,赤玉が隣り合わないように1列に並べたとき,左側の2つの赤玉の右隣にある白玉を取り除くと,白玉n-5個と赤玉3個を並べた状態が得られます.逆に,白玉n-5個と赤玉3個を1列に並べた状態に対して,左側の2つの赤玉の右隣に1個ずつ白玉を追加することで,白玉n-3個と赤玉3個を赤玉が隣り合わないように1列に並べた状態が得られます.

f:id:kuronekonosankaku:20220411113231j:plain

つまり,求めたかった場合の数は白玉n-5個と赤玉3個を1列に並べる場合の数に等しくなるので,{}_{n-2}C_3に一致します.