数学の力

京大生が数学の定理・公式の証明や入試問題の解説をするブログ.

プロジェクトオイラー479. ~Roots on the Rise~

[tex: a_k, b_k, c_k]を方程式 [tex:\frac{1}{x} &= \left(\frac{k}{x}\right)^2(k+x^2)-kx] の3つの解とする. [tex:S(n) &= \sum_{p=1}^n\sum_{k=1}^n(a_k+b_k)^p(b_k+c_k)^p(c_k+a_k)^p ]とおく.[tex: S(10^6)]を[tex: 1000000007]で割ったあまりを求め…

プロジェクトオイラー323. ~Bitwise-OR operations on random integers~

No.323 Bitwise-OR operations on random integers久々のProject Euler は確率・期待値の問題です.高校数学でも使うことのある確率の考え方も出てきます.問題. をランダムな符号なし32ビット整数とする(つまり,, 任意の値が同様に確からしく現れるとする…

京大2021年度理系第6問(対偶証明:平均値の定理)

問題.ーーー→ 2021年度京大理系の他の問題はこちらから 第1問 第2問 第3問 第4問 第5問 第6問 次の各問に答えよ. 問1 を 以上の整数とする. が素数ならば も素数であることを示せ. 問2 を より大きい定数とする.微分可能な関数 が を満たすとき,曲線 …

京大2021年度理系第5問(軌跡)

問題.ーーー→ 2021年度京大理系の他の問題はこちらから 第1問 第2問 第3問 第4問 第5問 第6問 第5問. 平面において,2点 に対し,点 は次の条件 を満たすとする. かつ点 の 座標は正. 次の各問に答えよ. (1) の外心の座標を求めよ. (2) 点 が条件 を満…

京大2021年度理系第4問(曲線の長さ)

問題.ーーー→ 2021年度京大理系の他の問題はこちらから 第1問 第2問 第3問 第4問 第5問 第6問 第4問. 曲線 の の部分の長さを求めよ. 問題自体はシンプルですね.公式に当てはめて,あとは積分がきちんと計算できるかどうかという問題です.曲線の長さを求…

京大2021年度理系第3問(無限級数)

問題.ーーー→ 2021年度京大理系の他の問題はこちらから 第1問 第2問 第3問 第4問 第5問 第6問 第3問. 無限級数の和を求めよ. 無限級数を計算する問題.京大らしい短い問題文の問題ですね.複素数と結びつけて考えることができればあとは計算を頑張れば解け…

京大2021年度理系第2問(微分・最小値)

問題.ーーー→ 2021年度京大理系の他の問題はこちらから 第1問 第2問 第3問 第4問 第5問 第6問 第2問. 曲線 上の点における接線は軸と交わるとし,その交点をとおく.線分の長さをとするとき,が取りうる値の最小値を求めよ. この問題は解いてみると意外と…

京大2021年度理系第1問-問2(確率)

問題.ーーー→ 2021年度京大理系の他の問題はこちらから 第1問-問1 第2問 第3問 第4問 第5問 第6問 次の各問に答えよ. 問1. 空間の3点を通る平面に関して点と対称な点の座標を求めよ.ただし,点が平面に関してと対称であるとは,線分の中点が平面上にあり…

京大2021年度理系第1問-問1(ベクトル)

問題.ーーー→ 2021年度京大理系の他の問題はこちらから 第1問-問2 第2問 第3問 第4問 第5問 第6問 次の各問に答えよ. 問1. 空間の3点を通る平面に関して点と対称な点の座標を求めよ.ただし,点が平面に関してと対称であるとは,線分の中点が平面上にあり…

#数学夏祭り 問4(9月3日出題)

#数学夏祭り 問4(確率).(9/3出題)2020年8月31日から2週間の間,数学夏祭りというイベントが開催されています.平日に毎日一問ずつ問題がTwitter上で出題され,解答,拡散,解説といった方法で気軽に参加できます.詳しくは公式サイト(https://mathmatsuri.…

#数学夏祭り 問3(9月2日出題)

#数学夏祭り 問3(三角関数).(9/2出題)2020年8月31日から2週間の間,数学夏祭りというイベントが開催されています.平日に毎日一問ずつ問題がTwitter上で出題され,解答,拡散,解説といった方法で気軽に参加できます.詳しくは公式サイト(https://mathmat…

#数学夏祭り 問2(9月1日出題)

#数学夏祭り 問2(幾何). (9/1出題)昨日2020年8月31日から2週間の間,数学夏祭りというイベントが開催されています.平日に毎日一問ずつ問題がTwitter上で出題され,解答,拡散,解説といった方法で気軽に参加できます.詳しくは公式サイト(https://mathmats…

#数学夏祭り 問1(8月31日出題)

\begin{align*} \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = \dfrac{r}{79}\quad(p \leq q, r<79) \end{align*}をみたす正整数 [tex: p, q, r] の組をすべて求め,[tex: p] の小さい順に並べたとき,前から 3 番目の [tex: r] と後ろから 5 番目の [tex: q] を掛けた数 (…

解と係数の関係

解と係数の関係この記事では,解と係数の関係とその証明について説明します. 次方程式は重解を含めて 個の解を持ちます. 個の解と,方程式の係数が満たす関係式が解と係数の関係です.特に 2 次,3 次の場合はよく使うので覚えておきましょう.1.2次方程…

平方数になる条件(自作問題30)

問題.今回は,自作問題の30番の解説です.問題. がすべての自然数 に対して平方数となるような自然数 を求めよ. この手の問題は方針を考えるために, に具体的な値を代入して調べてみましょう. 解答例,解説とおいて, を調べてみます.\begin{align*} f…

プロジェクトオイラー157. ~ Solving the Diophantine equation 1/a+1/b=p/10^n ~

No.157 Solving the Diophantine equation 1/a+1/b=p/10^n前回の記事で という問題について書きました(→方程式 1/a+1/b=p/10).今回の問題はさらに右辺の分母が になったことで少し難しくなっています. 問題. を正の整数, として,ディオファントス方程式 …

方程式 1/a+1/b=p/10

方程式1/a+1/b=p/10最近数カ月ぶりに Project Euler の問題を解いていると,面白い問題があったのでその例題を紹介します.実際の Project Euler の問題については別の記事で書くことにします. 問題.方程式\begin{align}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{p}{…

2020年度 京大 理系第5問, 文系第5問

京大2020年度理系第5問問題縦4個,横4個のマス目のそれぞれに1,2,3,4の数字を入れていく.このマス目の横の並びを行といい,縦の並びを列という.どの行にも,どの列にも同じ数字が1回しか現れない入れ方は何通りあるか求めよ.下図はこのような入れ方の1例…

錐(すい)の体積と三角形の面積

錐の体積と三角形の面積.錐の体積の公式三角錐,四角錐,円錐,...の錐(すい)という漢字は訓読みでは「きり」と読みます.これは,小さな穴を開けるための先のとがった工具です.三角錐や円錐といった「錐」とは,穴をあける道具のように先の尖った立体です…

2020年度 東大 理系 第4問

東大2020年度理系第4問問題.を,を満たす整数とする.個の整数 から異なる個を選んでそれらの積をとる.個の整数の選び方すべてに対しこのように積をとることにより得られる個の整数の和をと置く.例えば, である.(1) 2以上の整数に対し,を求めよ.(2) 1…

重複組合せVol.4

今回は重複組合せを利用する有名な問題を紹介します.Q. を展開して整理したとき,項はいくつあるか. まずは,5乗ではなく2乗の場合を,実際に式を展開して計算してみます. 公式として覚えているかもしれませんが,ここでは分配法則を使って展開すると,\b…

重複組合せVol.3

重複組合せの問題Vol.3重複組合せについては前回の記事を見てください.これまでにVol.1, Vol.2ではつぎのような問題を扱いました. Vol.1 を自然数とする. を満たす 0 以上の整数 の組はいくつあるか.Vol.2 を自然数とする. , を満たす整数 の組はいくつ…

重複組合せVol.2

重複組合せの問題Vol.2重複組合せについては以前の記事を見てください.前回の記事(重複組合せVol.1)では,重複組合せの代表的な問題として次のような問題を紹介しました.Q. を自然数とする. を満たす 0 以上の整数 の組はいくつあるか.この問題の答えは…

重複組合せVol.1

重複組合せの問題Vol.1重複組合せについては前回の記事を見てください.この記事では,重複組合せの代表的な問題を1つ紹介します.Q1. を自然数とする. を満たす 0 以上の整数 の組はいくつあるか. の場合を例として,実際に書き出してみましょう.はそれ…

重複組合せについて

重複組合せ簡単に組合せ(2項係数)の復習を 個の中から 個を取り出す方法は で計算できます.これは2項定理に登場する係数であることから,2項係数(binomial coefficients)と呼ばれます.2項係数の性質については「二項係数(コンビネーション)の性質まとめ」…

プロジェクトオイラー555. ~ McCarthy 91 function ~

No.555 McCarthy 91 function.プロジェクトオイラーの555番です.とりあえず問題を見てみましょう. 問題. マッカーシーの91関数は以下のように定義される. \begin{align*} M_{91}(n) &= \left\{\begin{array}{ll}n-10 & \mathrm{if}\,n>100\\ M_{91}(M_{9…

プロジェクトオイラー389. ~ Platonic Dice ~

No. 389 Platonic DiceProject Euler です.前に一度あきらめていた問題がようやく解けたので,書きます.確率の問題です.問題.偏りのない4面のサイコロ1個を投げて,出た目を として記録する. 個の偏りのない6面のサイコロを投げて,出た目を足し合わせ…

神大 2019 年度理科系第 3 問(確率)

神大 2019 年度理科系第 3 問.問題. を 2 以上の整数とする.2 個のさいころを同時に投げるとき,出た目の数の積を で割った余りが 1 となる確率を とする.以下の問に答えよ. (1) を求めよ. (2) のとき, を求めよ. (3) となる をすべて求めよ. さい…

神大 2019 年度文科系第 1 問(2 次関数,積分)

神大 2019 年度文科系第 1 問問題. を実数とし, とする.2 次関数 を で定める.曲線 は点 を通り, をみたすとする.以下の問に答えよ.(1) 関数 を を用いて表せ. (2) 点 における曲線 の接線を とする.直線 の方程式を を用いて表せ. (3) とする.(2…

神大 2019 年度理科系第 4 問

問題.少し面白い問題があったので,紹介します.次のように を繰り返して並べて得られる数列を とする. すなわち,, , で,4 以上の自然数 に対し, とする.この数列の初項から第 項までの和を とする.以下の問に答えよ. (1) を求めよ. (2) となる自然…