No.76 Counting Summations問題.5は正整数の和として:\begin{align*} &4+1\\ &3+2\\ &3+1+1\\ &2+2+1\\ &2+1+1+1\\ &1+1+1+1+1 \end{align*}の6通りに書ける．では，100は正整数の和として何通りに書けるか． 考え方とプログラム例.(c++)動的計画法です．先…
No.77 Prime Summations問題.10は素数の和として:\begin{align*} &7+3\\ &5+5\\ &5+3+2\\ &3+3+2+2\\ &2+2+2+2+2 \end{align*}の5通りに書ける．では，素数の和として5000通り以上の方法で書くことのできる最小の数は何か． 考え方とプログラム例.(c++)答え…
No.39 Integer right triangles問題.Q. 周の長さがであって，3辺の長さが整数である直角三角形は，例えばのときちょうど3つ存在する：において，このような直角三角形の個数が最大となるを求めよ． 考え方とプログラム例(c++)辺の長さが整数である直角三角形…
問題．を自然数とする．3つの整数の最大公約数を求めよ．は因数分解できないので，互除法を使って考えることになります．ユークリッドの互除法 をで割ったときの余りをとするとき，との最大公約数はとの最大公約数に等しい解説．まず，をで割ったときの余り…
問題．箱の中に1からまでの番号がついた枚の札がある．ただしとし，同じ番号の札はないとする．この箱から3枚の札を同時に取り出し，札の番号を小さい順にとする．このとき，かつとなる確率を求めよ．数字が連続しないような3枚を取り出す確率を求めよ，とい…
問題．であることを示せ．ただし，であることは用いてよい． 今年の問題も全体的に解く方針が分かりやすいものが多かったように感じます．の値の近似値に関する問題です．計算してみると5.4と5.5の間というのが意外とゆるい近似であることがわかります．京大…
問題．ーーー→ 2021年度京大理系の他の問題はこちらから 第1問 第2問 第3問 第4問 第5問 第6問 次の各問に答えよ． 問1 を 以上の整数とする． が素数ならば も素数であることを示せ． 問2 を より大きい定数とする．微分可能な関数 が を満たすとき，曲線 …
問題．ーーー→ 2021年度京大理系の他の問題はこちらから 第1問 第2問 第3問 第4問 第5問 第6問 第5問. 平面において，2点 に対し，点 は次の条件 を満たすとする． かつ点 の 座標は正． 次の各問に答えよ． (1) の外心の座標を求めよ． (2) 点 が条件 を満…
問題．ーーー→ 2021年度京大理系の他の問題はこちらから 第1問 第2問 第3問 第4問 第5問 第6問 第4問. 曲線 の の部分の長さを求めよ． 問題自体はシンプルですね．公式に当てはめて，あとは積分がきちんと計算できるかどうかという問題です．曲線の長さを求…
問題．ーーー→ 2021年度京大理系の他の問題はこちらから 第1問 第2問 第3問 第4問 第5問 第6問 第3問. 無限級数の和を求めよ． 無限級数を計算する問題．京大らしい短い問題文の問題ですね．複素数と結びつけて考えることができればあとは計算を頑張れば解け…
問題．ーーー→ 2021年度京大理系の他の問題はこちらから 第1問 第2問 第3問 第4問 第5問 第6問 第2問. 曲線 上の点における接線は軸と交わるとし，その交点をとおく．線分の長さをとするとき，が取りうる値の最小値を求めよ． この問題は解いてみると意外と…
問題．ーーー→ 2021年度京大理系の他の問題はこちらから 第1問-問1 第2問 第3問 第4問 第5問 第6問 次の各問に答えよ． 問1. 空間の3点を通る平面に関して点と対称な点の座標を求めよ．ただし，点が平面に関してと対称であるとは，線分の中点が平面上にあり…
問題．ーーー→ 2021年度京大理系の他の問題はこちらから 第1問-問2 第2問 第3問 第4問 第5問 第6問 次の各問に答えよ． 問1. 空間の3点を通る平面に関して点と対称な点の座標を求めよ．ただし，点が平面に関してと対称であるとは，線分の中点が平面上にあり…
#数学夏祭り 問4(確率)．(9/3出題)2020年8月31日から２週間の間，数学夏祭りというイベントが開催されています．平日に毎日一問ずつ問題がTwitter上で出題され，解答，拡散，解説といった方法で気軽に参加できます．詳しくは公式サイト(https://mathmatsuri.…
#数学夏祭り 問３(三角関数)．(9/2出題)2020年8月31日から２週間の間，数学夏祭りというイベントが開催されています．平日に毎日一問ずつ問題がTwitter上で出題され，解答，拡散，解説といった方法で気軽に参加できます．詳しくは公式サイト(https://mathmat…
#数学夏祭り 問2(幾何). (9/1出題)昨日2020年8月31日から２週間の間，数学夏祭りというイベントが開催されています．平日に毎日一問ずつ問題がTwitter上で出題され，解答，拡散，解説といった方法で気軽に参加できます．詳しくは公式サイト(https://mathmats…
\begin{align*} \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = \dfrac{r}{79}\quad(p \leq q, r<79) \end{align*}をみたす正整数 [tex: p, q, r] の組をすべて求め，[tex: p] の小さい順に並べたとき，前から 3 番目の [tex: r] と後ろから 5 番目の [tex: q] を掛けた数 (…
解と係数の関係この記事では，解と係数の関係とその証明について説明します． 次方程式は重解を含めて 個の解を持ちます． 個の解と，方程式の係数が満たす関係式が解と係数の関係です．特に 2 次，3 次の場合はよく使うので覚えておきましょう．１．2次方程…
問題．今回は，自作問題の30番の解説です．問題． がすべての自然数 に対して平方数となるような自然数 を求めよ． この手の問題は方針を考えるために， に具体的な値を代入して調べてみましょう． 解答例，解説とおいて， を調べてみます．\begin{align*} f…
方程式1/a+1/b=p/10最近数カ月ぶりに Project Euler の問題を解いていると，面白い問題があったのでその例題を紹介します．実際の Project Euler の問題については別の記事で書くことにします． 問題．方程式\begin{align}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{p}{…
京大2020年度理系第5問問題縦4個，横4個のマス目のそれぞれに1,2,3,4の数字を入れていく．このマス目の横の並びを行といい，縦の並びを列という．どの行にも，どの列にも同じ数字が1回しか現れない入れ方は何通りあるか求めよ．下図はこのような入れ方の1例…
錐の体積と三角形の面積．錐の体積の公式三角錐，四角錐，円錐，...の錐(すい)という漢字は訓読みでは「きり」と読みます．これは，小さな穴を開けるための先のとがった工具です．三角錐や円錐といった「錐」とは，穴をあける道具のように先の尖った立体です…
東大2020年度理系第4問問題．を，を満たす整数とする．個の整数 から異なる個を選んでそれらの積をとる．個の整数の選び方すべてに対しこのように積をとることにより得られる個の整数の和をと置く．例えば， である．(1) 2以上の整数に対し，を求めよ．(2) 1…
今回は重複組合せを利用する有名な問題を紹介します．Q. を展開して整理したとき，項はいくつあるか． まずは，5乗ではなく2乗の場合を，実際に式を展開して計算してみます． 公式として覚えているかもしれませんが，ここでは分配法則を使って展開すると，\b…
重複組合せの問題Vol.3重複組合せについては前回の記事を見てください．これまでにVol.1, Vol.2ではつぎのような問題を扱いました． Vol.1 を自然数とする． を満たす 0 以上の整数 の組はいくつあるか．Vol.2 を自然数とする． , を満たす整数 の組はいくつ…
重複組合せの問題Vol.2重複組合せについては以前の記事を見てください．前回の記事(重複組合せVol.1)では，重複組合せの代表的な問題として次のような問題を紹介しました．Q. を自然数とする． を満たす 0 以上の整数 の組はいくつあるか．この問題の答えは…
重複組合せの問題Vol.1重複組合せについては前回の記事を見てください．この記事では，重複組合せの代表的な問題を１つ紹介します．Q1. を自然数とする． を満たす 0 以上の整数 の組はいくつあるか． の場合を例として，実際に書き出してみましょう．はそれ…
重複組合せ簡単に組合せ(2項係数)の復習を 個の中から 個を取り出す方法は で計算できます．これは2項定理に登場する係数であることから，2項係数(binomial coefficients)と呼ばれます．2項係数の性質については「二項係数(コンビネーション)の性質まとめ」…
神大 2019 年度理科系第 3 問．問題． を 2 以上の整数とする．2 個のさいころを同時に投げるとき，出た目の数の積を で割った余りが 1 となる確率を とする．以下の問に答えよ． (1) を求めよ． (2) のとき， を求めよ． (3) となる をすべて求めよ． さい…
神大 2019 年度文科系第 1 問問題． を実数とし， とする．2 次関数 を で定める．曲線 は点 を通り， をみたすとする．以下の問に答えよ．(1) 関数 を を用いて表せ． (2) 点 における曲線 の接線を とする．直線 の方程式を を用いて表せ． (3) とする．(2…
