#数学夏祭り問3(9月2日出題)

#数学夏祭り問３(三角関数)．(9/2出題)

2020年8月31日から２週間の間，数学夏祭りというイベントが開催されています．平日に毎日一問ずつ問題がTwitter上で出題され，解答，拡散，解説といった方法で気軽に参加できます．

詳しくは公式サイト(https://mathmatsuri.org)を見てください．

本記事ではその問題の解説を行います．

問題．

問3.
自然数 $n$ に対して， $x$ の多項式 $T_n(x)$ で
\begin{align*}
\cos(n\theta) = T_n(\cos\theta)
\end{align*}が実数 $\theta$ によらず成立するものを考えることで，
\begin{align*}
K = \prod_{k=1}^{40} \cos\Big(\frac{2k-1}{79}\pi\Big)
\end{align*}を求め， $[|\log_2{|K|}|]$ を与えよ．ここで，数列 $\{a_n\}$ と $m\leqq n$ なる整数 $m, n$ に対し $\displaystyle\prod_{k=m}^n a_k = a_m\times a_{m+1}\times\cdots\times{a_{n-1}}\times a_n$ と表し，実数 $x$ 以下の最大の整数を $[x]$ と表す．

難易度：★★★★★★★☆☆☆

解説．

問題文の冒頭にある $T_n(x)$ は，第一種チェビシェフ多項式 (Chebyshev polynomials) と呼ばれる多項式です．

後で用いるので，チェビシェフ多項式について説明しておきます．

具体例を計算してみると，

$T_1(\cos\theta) = \cos\theta$ より， $T_1(x)=x$ .

\begin{align*}
T_2(\cos\theta) &= \cos2\theta\\
&= 2\cos^2\theta-1
\end{align*}
より， $T_2(x) = 2x^2-1$ .

\begin{align*}
T_3(\cos\theta) &= \cos3\theta\\
&= 4\cos^3\theta-3\cos\theta
\end{align*}

より， $T_3(x) = 4x^3-3x$ .

という感じです．

後で使うので，チェビシェフ多項式の性質を挙げておきます．

チェビシェフ多項式 $T_n(x)$ は，漸化式
\begin{align*}
T_{n+2}(x) = 2xT_{n+1}(x) - T_n(x)
\end{align*}をみたす．

簡単に証明しておくと，三角関数の和積の公式

\begin{align*}
\cos{A} + \cos{B} = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}
\end{align*}

を用いると，

\begin{align*}
\cos(n+2)\theta + \cos n\theta &= 2\cos(n+1)\theta\cos\theta\\
T_{n+2}(x) + T_n(x) &= 2xT_{n+1}(x)
\end{align*}

となり上の漸化式が得られます．

この漸化式を用いると， $T_n(x)$ が $x$ の $n$ 次多項式で，最高次 $x^n$ の係数は $2^{n-1}$ , 定数項を $a_n$ とすると
\begin{align*}
a_n = \begin{cases}
0 & (n:奇数)\\
(-1)^{n/2} & (n:偶数)
\end{cases}
\end{align*}

となることが分かります．

では，ここから問題の解説に入ります．

$\theta = \dfrac{2k-1}{79}\pi\, k=1, 2, \ldots, 40$ を考えると，

\begin{align*}
79\theta &= (2k-1)\pi\\
40\theta &= (2k-1)\pi - 39\theta\\
\cos40\theta &= \cos\{(2k-1)\pi - 39\theta\}\\
&= -\cos39\theta\\
\therefore \cos40\theta + \cos39\theta &= 0
\end{align*}

よって， $x = \cos\frac{2k-1}{79}\pi, k=1, 2, \ldots, 40$ が $40$ 次方程式
\begin{align*}
T_{40}(x) + T_{39}(x) = 0
\end{align*}