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2020年度 京大 理系第5問, 文系第5問

入試問題

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京大2020年度理系第5問

問題

縦4個，横4個のマス目のそれぞれに1,2,3,4の数字を入れていく．このマス目の横の並びを行といい，縦の並びを列という．どの行にも，どの列にも同じ数字が1回しか現れない入れ方は何通りあるか求めよ．下図はこのような入れ方の1例である．
\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline 3 & 4 & 1 & 2\\ \hline 4 & 1 & 2 & 3\\ \hline 2 & 3 & 4 & 1\\ \hline \end{array}


この問題はいろいろな解き方，考え方があると思います．この記事では一例を紹介します．


解答例．

どの行にも，どの列にも同じ数字が1回しか現れない入れ方を考えたとき，行と行を入れ替えて得られる図も条件を満たします．条件を満たす任意の図に対して，行の入れ替えによって左端の列に上から順に1,2,3,4が入った図を作ることができます．

次に，列と列を入れ替えることによって，一番上の行に左から順に1,2,3,4が入った図を作ることができます．

 

つまり，1行目と1列目に1,2,3,4が順に入った図から，行の並べ替え→列の並べ替えの順に並べ替えることで条件を満たすすべての図を作ることができます．このときの行の並べ替え方は 4!=24通り，列の並べ替え方は 3!=6通りです．

 

後は，左端の列に上から1,2,3,4, 一番上の行に左から1,2,3,4のように並んでいる入れ方が何通りあるかを調べると，以下の 4通りがあります．

 

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline 2 & 1 & 4 & 3\\ \hline 3 & 4 & 1 & 2\\ \hline 4 & 3 & 2 & 1\\ \hline \end{array} \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline 2 & 1 & 4 & 3\\ \hline 3 & 4 & 2 & 1\\ \hline 4 & 3 & 1 & 2\\ \hline \end{array} \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline 2 & 3 & 4 & 1\\ \hline 3 & 4 & 1 & 2\\ \hline 4 & 1 & 2 & 3\\ \hline \end{array} \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline 2 & 4 & 1 & 3\\ \hline 3 & 1 & 4 & 2\\ \hline 4 & 3 & 2 & 1\\ \hline \end{array}

 

よって， 24\times 6\times 4=576通りとなります．