数学の力

京大生が数学の定理・公式の証明や入試問題の解説をするブログ.

トップ > その他 > #数学夏祭り 問１(8月31日出題)

#数学夏祭り 問１(8月31日出題)

その他

スポンサードリンク

#数学夏祭り 問1. (8/31出題)

本日2020年8月31日から２週間の間，数学夏祭りというイベントが開催されています．平日に毎日一問ずつ問題がTwitter上で出題され，解答，拡散，解説といった方法で気軽に参加できます．

詳しくは公式サイト(https://mathmatsuri.org)を見てください．

 

この記事では問1の問題の解説を行います．自分で解きたい方は，その後で見ていただけると良いかと思います．

 

問題．

問1. \begin{align*}
\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = \dfrac{r}{79}\quad(p \leq q, r<79)
\end{align*}をみたす正整数 p, q, r の組をすべて求め， p の小さい順に並べたとき，前から 3 番目の r と後ろから 5 番目の q を掛けた数 ( q\times r) を答えよ．

難易度：★★★★☆☆☆☆☆☆

 

この問題は同じような問題についての記事を以前にも書いたので，そちらも良ければ見てください．

ー＞①：方程式 1/a+1/b=p/10

②：Project Euler 157. Solving the Diophantine align 1/a+1/b=p/10^n

 

解説

まず，右辺の分子が r が具体的な整数の場合を考えてみましょう．

例えば， r=1のとき，

\begin{align*}
\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{79}\quad (p\leq q)
\end{align*}

よくある解法を考えます．
p\leq q より \frac{1}{p}\geq\frac{1}{q} なので，

\begin{align*}
\frac{1}{79} &= \frac{1}{p} + \frac{1}{q}\\
&\leq \frac{1}{p} + \frac{1}{p}\\
&= \frac{2}{p}
\end{align*}

となり， p の取りうる範囲が p\leq 2\times 79 =158 とわかります．
さて， p は 1\leq p\leq 158 なのですべての場合を調べて…としていると候補が多すぎてとても答えにたどり着けません(しかも， r が 2, 3, \ldots, 78 の場合もあります． コンピュータに頼るなら別ですが…)．

 

というわけで，別の方法を考えます．

まず，両辺に 79pq を掛けて分母を払います．

\begin{align*}
79q + 79p = pqr\quad (p\leq q, r<79)
\end{align*}

整数の問題でよく行う方法として，(式)×(式)=(整数)という，左辺は因数分解された形，右辺は整数，の形に変形して解を絞っていく方法があります．そこで，上の式の両辺に r を掛けて，次のような変形をしていきます．

\begin{align*} 79qr + 79pr &= pqr^2\\ pqr^2 - 79pr - 79qr + 79^2 &= 79^2\\ (pr - 79)(qr-79) &= 79^2 \end{align*}

r を掛けたことと，両辺に 79^2 を足したのは因数分解するためです．
このように変形すると， pr-79, qr-79 は両方とも整数なので，解が絞れていけそうです．

問題の条件から， -79 < pr-79 \leq qr-79で，79は素数なので， (pr-79, qr-79)の組は以下の2通りしかありません．

(i) (pr-79, qr-79) = (1, 79^2)

(ii) (pr-79, qr-79) = (79, 79)

 

(i) のとき，

pr = 80, qr = 79^2+79 = 79\times 80 で， r は 80 と 79\times80 の公約数，すなわち 80の約数で， r<79であることに注意すると，これを満たす (p, q, r) の組は以下になります．

\begin{align*}
(p, q, r) &= (2, 2\times79, 40), (4, 4\times79, 20), (5, 5\times79, 16), (8, 8\times79, 10)\\
&\quad (10, 10\times79, 8), (16, 16\times79, 5), (20, 20\times79, 4), (40, 40\times 79, 2)\\
&\quad (80, 80\times79, 1)
\end{align*}

(ii) のときも同様に調べます．

pr = 2\times79, qr = 2\times79 で， r は 2\times 79の約数になり， r<79であることに注意すると，これを満たす (p, q, r) の組は以下になります．

\begin{align*}
(p, q, r) &= (79, 79, 2), (158, 158, 1)
\end{align*}

これですべての解がでたので， pが小さい順に並べると，

\begin{align*}
(p, q, r) &= (2, 2\times79, 40), (4, 4\times79, 20), (5, 5\times79, 16), (8, 8\times79, 10)\\
&\quad (10, 10\times79, 8), (16, 16\times79, 5), (20, 20\times79, 4), (40, 40\times 79, 2)\\
&\quad (79, 79, 2), (80, 80\times79, 1), (158, 158, 1)
\end{align*}

前から3番目の r と後ろから5番目の q の積は， 16\times20\times79 = 25280 となります.