#数学夏祭り 問２(9月1日出題)

#数学夏祭り 問2(幾何). (9/1出題)

昨日2020年8月31日から２週間の間，数学夏祭りというイベントが開催されています．平日に毎日一問ずつ問題がTwitter上で出題され，解答，拡散，解説といった方法で気軽に参加できます．

詳しくは公式サイト(https://mathmatsuri.org)を見てください．

本記事ではその問題の解説を行います．

問題．

問2.  は ，， である．
の垂心を ，外心を ，重心を とし，外心に関して垂心と対称な点を ，線分 を に外分する点を とする．(ただし， は をみたす実数とする．)
四角形 の面積 を， を用いた式で表わせ．

難易度：★★★★★★☆☆☆☆

 

解説．

 

(比を簡単にする計算や分母の有理化など，細かい計算過程は省いています．)

図を書くと上のようになります． の垂心，重心，外心は同一直線上にあり， です．(この直線はオイラー線といい，どんな三角形でもこの比はです．)

図には書いてませんが，条件として が与えられています．

点 から辺 に下ろした垂線の足を ，外心  から辺 に下ろした垂線の足を ，直線 と辺 の交点を とします．

まず， の面積を求めます．

なので， で，
\begin{align*}
BP : CP &= AP : CP\\
&= \tan{\frac{\pi}{8}} : 1\\
&= \left(\sqrt{2}-1\right) : 1
\end{align*}

なので(は半角の公式などを使えば出てきます)，

\begin{align*}
BP = AP &= \sqrt{6} \times \frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}-1) + 1}\\
&= \sqrt{6} - \sqrt{3}\\
CP &= BC - BP\\
&= \sqrt{6} - (\sqrt{6} - \sqrt{3})\\
&= \sqrt{3}
\end{align*}

と求まり， です．

次に， の面積を考えます．

と は が共通，， から合同なので， です．よって，

ここで，比  が求まれば， の面積が

として求まるので， を求めていきます．

円周角，中心角の関係などを使って計算すると が求まるので，

\begin{align*}
\mathrm{OI} &= \mathrm{CI}\tan\frac{\pi}{8}\\
&= \frac{\sqrt{6}}{2}\left(\sqrt{2}-1\right)
\end{align*}

ここで， と は相似なので，

\begin{align*}
\mathrm{HR} : \mathrm{OR} &= \mathrm{HP} : \mathrm{OQ}\\
&= \sqrt{3} : \frac{\sqrt{6}}{2}\left(\sqrt{2}-1\right)\\
&= \sqrt{2} : \left(\sqrt{2}-1\right)\\
&= \left(2 + \sqrt{2}\right) : 1
\end{align*}

一方で，三角形の性質から

\begin{align*}
\mathrm{HG} : \mathrm{GO} &= 2 : 1
\end{align*}

なので，この比を合わせると，

\begin{align*}
\mathrm{HG} : \mathrm{GR} : \mathrm{RO} &= \left(6 + 2\sqrt{2}\right) : \sqrt{2} : 3
\end{align*}

となります．

さらに，， は線分 を に外分することから順に計算すると，

\begin{align*}
\mathrm{HG} : \mathrm{GR} : \mathrm{RO} : \mathrm{OL} : \mathrm{LD} &= \left(6 + 2\sqrt{2}\right) : \sqrt{2} : 3 : \left(9 + 3\sqrt{2}\right) : \frac{n}{m-n}\left\{4\left(3+\sqrt{2}\right)\right\}
\end{align*}

となるので，

\begin{align*}
\mathrm{HR} : \mathrm{RD} = \left(6 + 3\sqrt{2}\right) : \left[12+3\sqrt{2}+\frac{n}{m-n}\left\{4\left(3+\sqrt{2}\right)\right\}\right]
\end{align*}

よって，

したがって，四角形 の面積 は，