問題.
問1. とする. は有理数ではないが, と がともに有理数となるような の値を求めよ.ただし, が素数のとき, が有理数でないことは証明なしに用いてよい.
問2.次の定積分の値を求めよ.
(1)
(2)
問1.は の 2 倍角,3 倍角の公式を用いると はともに の多項式の形で表せることを使います.
問2.は定積分の問題ですが,(1) は部分積分と の積分,(2) は上手く変数変換した上で,部分分数分解を用いて計算できます.どちらも 2 手間くらい必要ですが,そこまで難しい問題ではありません.
解答例.
問1.
まず,2倍角,3倍角の公式から\begin{align*}
\cos{2\theta} &= 2\cos^2\theta-1\tag{1}\\
\cos{3\theta} &= 4\cos^3\theta-3\cos\theta\\
&= (4\cos^2\theta-3)\cos\theta.\tag{2}
\end{align*}
(3 倍角の公式を覚えていない場合は 2 倍角と加法定理を使って出しましょう.)
ここから,有理数が加減乗除について閉じている,すなわち
という性質を使います.
(1) 式から,
\begin{align*}
\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos{2\theta}}{2}
\end{align*}
(これは半角の公式ですね.)
条件から が有理数なので, も有理数となります.
次に (2) 式に着目して,もし であれば,
\begin{align*}
\cos\theta = \dfrac{\cos{3\theta}}{4\cos^2\theta-3}
\end{align*}
が有理数になってしまい条件を満たさないので, となります.
よって, となり, より .
このとき,たしかに \begin{align*}
\cos\theta &= \frac{\sqrt{3}}{2}\\
\cos{2\theta} &= \frac{1}{2}\\
\cos{3\theta} &= 0
\end{align*} となり条件をみたしています.
問2.
(1) まず, の微分 であることを使って部分積分を行うと,\begin{align*}
\int_0^{\pi/4} \dfrac{x}{\cos^2 x}\,dx &= \Big[x\tan x\Big]_0^{\pi/4} - \int_0^{\pi/4} \tan x\,\mathrm{d}x
\end{align*}
右辺第 1 項は
\begin{align*}
\Big[x\tan x\Big]_0^{\pi/4} &= \dfrac{\pi}{4}\tan\frac{\pi}{4}\\
&= \frac{\pi}{4}.
\end{align*} となります.右辺第 2 項は の積分ですが, と書き直すことで計算できます.
とおくと, となり,
\begin{align*}
\int_0^{\pi/4} \tan x\,dx &= \int_0^{\pi/4} \dfrac{\sin x}{\cos x} \,\mathrm{d}x\\
&= \int_1^{\sqrt{2}/2} -\frac{\mathrm{d}t}{t}\\
&= \Big[-\log|t|\Big]_1^{\sqrt{2}/2}\\
&= -\log\frac{\sqrt{2}}{2}\\
&= \frac{1}{2}\log{2}
\end{align*}
したがって,
\begin{align*}
\int_0^{\pi/4} \dfrac{x}{\cos^2 x}\,\mathrm{d}x &= \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\log{2}.
\end{align*}
(2) まず,分母分子に をかけて, を用いて変形すると,
\begin{align*}
\int_0^{\pi/4} \frac{\mathrm{d}x}{\cos x} &= \int_0^{\pi/4} \frac{\cos x}{\cos^2 x}\,\mathrm{d}x\\
&= \int_0^{\pi/4} \frac{\cos x}{1-\sin^2 x}\,\mathrm{d}x
\end{align*} このように,被積分関数を
\begin{align*}
(\sin x の式) \times \cos x
\end{align*}
という形にすることで,置換積分ができます.((1) の の積分はこれの が逆のパターンです)
というわけで, とおくと となり,
\begin{align*}
\int_0^{\pi/4} \frac{\cos x}{1-\sin^2 x}\,\mathrm{d}x &= \int_0^{\sqrt{2}/2} \frac{\mathrm{d}t}{1-t^2}.
\end{align*}
あとは部分分数分解を使って,分母が の 1 次式になるようにして計算するだけです.
\begin{align*}
\int_0^{\sqrt{2}/2} \frac{\mathrm{d}t}{1-t^2} &= \frac{1}{2}\int_0^{\sqrt{2}/2} \left(\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t}\right)\\
&= \frac{1}{2}\Big[-\log|1-t|+\log|1+t|\Big]_0^{\sqrt{2}/2}\\
&= \frac{1}{2}\left\{-\log\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\log\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right\}\\
&= \frac{1}{2}\log\left(\frac{1+\sqrt{2}/2}{1-\sqrt{2}/2}\right)\\
&= \frac{1}{2}\log\left(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\right)\\
&= \frac{1}{2}\log(\sqrt{2}+1)^2\\
&= \log(\sqrt{2}+1).
\end{align*}
最後のところは, の項をまとめて有理化することできれいな形にしました.