京大2021年度理系第5問(軌跡)

問題．

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第5問.
$xy$ 平面において，2点 $\mathrm{B}(-\sqrt{3}, -1), \mathrm{C}(\sqrt{3}, -1)$ に対し，点 $\mathrm{A}$ は次の条件 $(\ast)$ を満たすとする．
$(\ast)$ $\angle{\mathrm{BAC}}=\frac{\pi}{3}$ かつ点 $\mathrm{A}$ の $y$ 座標は正．
次の各問に答えよ．
(1) $\triangle\mathrm{ABC}$ の外心の座標を求めよ．
(2) 点 $\mathrm{A}$ が条件 $(\ast)$ を満たしながら動くとき， $\triangle{\mathrm{ABC}}$ の垂心の軌跡を求めよ．

(1) はいくつか考え方があるとは思いますが，この記事では余弦定理を使ってみます．

(2) の垂心については，①ベクトルで考える　②垂線の方程式から交点を求める　などの方法が考えられますが，今回は①の方法で解きます．

ちなみに，実際の入試で使うべきかは分かりませんが，オイラー線の性質(三角形の重心は，外心と垂心を結んだ線分を $1:2$ に内分する点) を使うと垂心は楽に求まります．

解答例．

(1) 辺 $\mathrm{BC}$ の長さは $2\sqrt{3}$ なので， $\triangle{\mathrm{ABC}}$ の外
接円の半径を $R$ とおいて余弦定理を使うと

\begin{align*}
2R &= \frac{2\sqrt{3}}{\sin60^\circ}\\
&= \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\\
&= 4\\
\therefore R &= 2
\end{align*}

外心は辺 $\mathrm{BC}$ の垂直二等分線，つまり $y$ 軸上にあるので，その座標を $(0, \alpha)$ とおくと，点 $\mathrm{B}$ からの距離が $2$ なので

\begin{align*}
\{0-(-\sqrt{3})\}^2 + \{\alpha - (-1)\}^2 &= 2^2\\
(\alpha+1)^2 &= 1\\
\alpha+1 &= \pm 1\\
\therefore \alpha &= -2, 0
\end{align*}

となります．点 $\mathrm{A}$ の $y$ 座標が正で $\angle{\mathrm{BAC}}=60^\circ<90^\circ$ なので，外心の $y$ 座標は $\alpha>-1$ でなければならないので，外心の座標は $(0, 0)$ .

(2) (1) の結果から，点 $\mathrm{A}$ は原点 $(0, 0)$ を中心として半径 $2$ の円周の $y>0$ の部分を動くことがわかります．そこで，点 $\mathrm{A}$ の座標を $(2\cos\theta, 2\sin\theta), (0<\theta<\pi)$ とおきます．

辺 $\mathrm{BC}$ は $x$ 軸に平行なので， $\mathrm{A}$ から $\mathrm{BC}$ に下ろした垂線の方程式は $y=(2\cos\theta) x$ . よって， $\triangle{\mathrm{ABC}}$ の垂心の $x$ 座標は $2\cos\theta$ .

次に，垂心の $y$ 座標を $t$ とおくと，

$\overrightarrow{BH} = (2\cos\theta+\sqrt{3}, t+1)$

また，

$\overrightarrow{AC} = (-2\cos\theta+\sqrt{3}, -2\sin\theta-1)$

なので，

\begin{align*}
\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC} &= (2\cos\theta+\sqrt{3})(-2\cos\theta+\sqrt{3})+(t+1)(-2\sin\theta-1)\\
&= -4\cos^2\theta+3-2\sin\theta-1-(2\sin\theta+1)t\\
&= -4(1-\sin^2\theta)-2\sin\theta+2-(2\sin\theta+1)t\\
&= 4\sin^2\theta-2\sin\theta-2-(2\sin\theta+1)t\\
&= (2\sin\theta+1)(2\sin\theta-2)-(2\sin\theta+1)t\\
&= (2\sin\theta+1)(-t+2\sin\theta-2)
\end{align*}

$\overrightarrow{BH}\perp\overrightarrow{AC}$ より $\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0$ なので， $t=2\sin\theta-2$ .

※ 三角形の外心 $O$ ，重心 $G$ ，垂心 $H$ が $\overrightarrow{OH} = 3\overrightarrow{OG}$ を満たすことを用いると，外心が $(0, 0)$ , 重心は $\frac{2}{3}\cos\theta, \frac{2}{3}\sin\theta-\frac{2}{3}$ から垂心 $2\cos\theta, 2\sin\theta-2$ がすぐに求まります．