複素数の極形式表示

この記事では, 複素数の表し方の極形式を紹介します.

これまでは複素数 $z$ は

\begin{align*}
z = a + bi
\end{align*}

( $a, b$ は実数)

と表していました．

極形式では，三角関数 $\sin\theta, \cos\theta$ を使って，複素数を表現します．

極形式

複素数 $z$ を

\begin{align*}
z = r(\cos\theta+i\sin\theta)
\end{align*}

( $0\leqq\theta<2\pi$ , $r\geqq0$ )

と表すとき，極形式といいます．

このとき， $\theta$ を $z$ の偏角といい， $\theta = \arg{z}$ と表します．

$r$ は $z$ の絶対値で， $r = |z|$ と表します．

$z=a+bi$ を極形式に直すと，

\begin{align*}
z &= a+bi\\
&= \sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}i\right)
\end{align*}

ここで，

\begin{align*}
\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2+\left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2=1
\end{align*}

なので，

\begin{align*}
\cos\theta &= \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\
\sin\theta &= \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{align*}

となる $\theta$ が存在します．

極形式の利点

複素数を極形式で表すと次のような利点があります．

\begin{align*}
z_1 &= r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)\\
z_2 &= r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)
\end{align*}

( $r_1, r_2\geqq 0$ )

のとき．

・ $|z_1| = r_1$

・ $z_1z_2 = r_1r_2\{\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\}$

・ $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2}\{\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\}$

・(ド・モアブル)

$z_1^n = r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)$

などが成り立ちます．

このように，積や商の計算が簡単になります．

これらは三角関数の加法定理を使って簡単に示すことができます．

また，Euler (オイラー)　の公式として知られる式

\begin{align*}
\cos\theta+i\sin\theta = e^{i\theta}
\end{align*}

を使えば，

$z_1=r_1e^{i\theta_1}, z_2 = r_2e^{i\theta_2}$ と書けて，

\begin{align*}
z_1z_2 &= r_1e^{i\theta_1}r_2e^{i\theta_2}\\
&= r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}\\
&= r_1r_2\{\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\}
\end{align*}

のように計算することもできます.

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複素数の極形式表示

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極形式

極形式の利点