京大2010年度理系[甲]第5問(積分・面積)

問題.

を正の実数とする. 座標平面において曲線 と 軸とで囲まれた図形の面積を とし, 曲線 , 曲線 および 軸で囲まれた図形の面積を とする. このとき， となるような の値を求めよ.

 

とりあえず の値は積分してすぐに求まります.

については， と のグラフの交点の座標が正確には分からない( に依存する) ので，一旦交点の 座標を とおいて計算します．

解答例.

まず を計算します．

\begin{align*}
S &= \int_0^\pi \sin{x}\,dx\\
&= \Big[-\cos{x}\Big]_0^\pi\\
&= 1-(-1)\\
&= 2
\end{align*}

次に， を考えます．

と のグラフは で1回だけ交わる(グラフの形を考えると明らかです)ので，その点を とおきます．

すると， が成り立ちます.

ここで，三角関数の性質  を使うと,

\begin{align*}
(a\cos\alpha)^2 + \cos^2\alpha &= 1\\
(a^2+1) \cos^2\alpha &= 1\\
\therefore \cos\alpha &= \dfrac{1}{\sqrt{a^2+1}}\\
\sin\alpha &= \dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}
\end{align*}

但し，3行目では， であることを使っています．

では， を積分で求めていきましょう．

\begin{align*}
T &= \int_0^\alpha \sin{x}\,dx + \int_\alpha^\frac{\pi}{2} a\cos{x}\,dx\\
&= \Big[-\cos{x}\Big]_0^\alpha + \Big[a\sin{x}\Big]_\alpha^\frac{\pi}{2}\\
&= -\cos\alpha + 1 + a - a\sin\alpha\\
&= -\dfrac{1}{\sqrt{a^2+1}} + 1 + a - \dfrac{a^2}{\sqrt{a^2+1}}\\
&= 1 + a - \dfrac{1+a^2}{\sqrt{a^2+1}}\\
&= 1+ a - \sqrt{a^2+1}
\end{align*}

あとは， を使って， より

\begin{align*}
2 &= 3(1+a-\sqrt{a^2+1})\\
3\sqrt{a^2+1} &= 3a+1\\
9(a^2+1) &= (3a+1)^2\\
9a^2+9 &= 9a^2+6a+1\\
8 &= 6a\\
\therefore a &= \dfrac{4}{3}.
\end{align*}