京大2009年度[甲]第6問(積分・曲線の長さ)

問題.

極方程式

$r = 1+\cos{\theta}\quad(0\leqq \theta\leqq\pi)$

で表される曲線の長さを求めよ．

シンプルな問題文です．

極方程式で表される曲線の長さを求める問題は珍しいので，少し戸惑うかもしれませんが， $xy-$ 直交座標での媒介変数表示された式に直せば，後は公式通りです．

公式.

$y = f(t),\,x = g(t),\,(a\leqq t\leqq b)$ で表される曲線の長さ $L$ は，
\begin{align*}
L &= \int_a^b \sqrt{f^\prime(t)^2 + g^\prime(t)^2}\,\mathrm{d}t\\
&= \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}\,\mathrm{d}t
\end{align*}

解答例.

まず，極座標表示された曲線の式を， $xy-$ 直交座標に直します．

\begin{align*}
x &= r\cos{\theta}\\
&= (1+\cos{\theta})\cos{\theta}\\
y &= r\sin{\theta}\\
&= (1+\cos{\theta})\sin{\theta}
\end{align*}

それぞれを $\theta$ で微分すると,

\begin{align*}
\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\theta} &= -\sin{\theta}\cos{\theta} \\
&\quad+ (1+\cos{\theta})(-\sin{\theta})\\
&= -\sin{\theta}-2\sin{\theta}\cos{\theta}\\
&= -\sin{\theta}-\sin{2\theta}
\end{align*}

\begin{align*}
\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\theta} &= -\sin{\theta}\cdot\sin{\theta}\\
&\quad + (1+\cos{\theta})\cos{\theta}\\
&= \cos{\theta}+\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}\\
&= \cos{\theta}+\cos{2\theta}
\end{align*}

よって，

\begin{align*}
\left(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\theta}\right)^2+\left(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\theta}\right)^2 &= (-\sin{\theta}-\sin{2\theta})^2 \\
&\quad +(\cos{\theta}+\cos{2\theta})^2\\
&= (\sin^2{\theta}+2\sin{\theta}\sin{2\theta}+\sin^2{2\theta})\\
&\quad + (\cos^2{\theta} + 2\cos{\theta}\cos{2\theta}+\cos^2{2\theta})\\
&= (\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}) + (\sin^2{2\theta}+\cos^2{2\theta})\\
&\quad +2(\sin{\theta}\sin{2\theta}+\cos{\theta}\cos{2\theta})\\
&= 1 + 1 + 2\cos(2\theta-\theta)\\
&= 2(1+\cos{\theta})\\
&= 4\cos^2{\frac{\theta}{2}}
\end{align*}

となるので， $0\leqq\theta\leqq \pi$ のとき $\cos{\frac{\theta}{2}}\geqq 0$ であることを用いて，曲線の長さは，

\begin{align*}
\int_0^\pi \sqrt{4\cos^2{\frac{\theta}{2}}}\,d\theta &= \int_0^\pi 2\cos{\frac{\theta}{2}}\,d\theta\\
&= \Big[4\sin{\frac{\theta}{2}}\Big]_0^\pi\\
&= 4
\end{align*}

追記. (極方程式の曲線の長さ)

一般に極方程式 $r = f(\theta)$ の形で表される曲線について，上の解答例同様に，

$\begin{align*} x &= f(\theta)\cos{\theta}\\ y &= f(\theta)\sin{\theta} \end{align*}$

とおいて， $\left(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\theta}\right)^2+\left(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\theta}\right)^2$ を計算すると，
$\begin{align} \left(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\theta}\right)^2+\left(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\theta}\right)^2 = \{f^\prime(\theta)\}^2 + \{f(\theta)\}^2 \end{align}$
ときれいな形になるので，曲線の長さは $a\leqq\theta\leqq b$ のとき
$\begin{align} L = \int_a^b \sqrt{\{f^\prime(\theta)\}^2 + \{f(\theta)\}^2}\,d\theta \end{align}$
となります．