京大 2019 年度理系第 6 問

問題．

$i$ は虚数単位とする． $(1+i)^n+(1-i)^n>10^{10}$ をみたす最小の正の整数 $n$ を求めよ．
(実際には常用対数表が与えられています．)

複素数なのに不等号…？と一瞬思いますが，
\begin{align*}
\overline{(1+i)^n} &= (\overline{1+i})^n\\
&= (1-i)^n
\end{align*}

と， $(1+i)^n$ と $(1-i)^n$ は共役な複素数なので，足すと虚部が打ち消し合って実数になります．

複素数の $n$ 乗は，ド・モアブルの定理

\begin{align*}
(\cos\theta\pm i\sin\theta)^n = \cos{n\theta}\pm i\sin{n\theta}
\end{align*}

を使って処理していきます．

$n$ によって，左辺が正になったり，負になったり，0 になったりと変化するという点で，よくある桁数を求める問題より少し複雑です．

解答例．

ド・モアブルの定理を使いたいので，
\begin{align*}
1+i &= \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\\
1-i &= \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}-i\sin\frac{\pi}{4}\right)
\end{align*}
と極形式に直しておきます．

すると，
\begin{align*}
(1+i)^n+(1-i)^n &= \left\{\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\right\}^n\\
&\quad +\left\{\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}-i\sin\frac{\pi}{4}\right)\right\}^n\\
&= (\sqrt{2})^n\left\{\left(\cos\frac{n\pi}{4}+i\sin\frac{n\pi}{4}\right)+\left(\cos\frac{n\pi}{4}-i\sin\frac{n\pi}{4}\right)\right\}\\
&= 2^{\frac{n+2}{2}}\cos\frac{n\pi}{4}.
\end{align*}

よって，問題の不等式は
\begin{align*}
2^{\frac{n+2}{2}}\cos\frac{n\pi}{4}>10^{10}\tag{1}
\end{align*}
と書き換えられます．

ここで， $n$ を 8 で割ったときの余りを $m$ とすると，
\begin{align*}
\cos\frac{n\pi}{4} = \left\{\begin{array}{ll}
1 & (m=0)\\
\sqrt{2}/2 & (m=1, 7)\\
0 & (m=2, 6)\\
\,-\sqrt{2}/2 & (m=3, 5)\\
\,-1 & (m= 4)
\end{array}\right.
\end{align*}
なので，

\begin{align*}
2^{\frac{n+2}{2}}\cos\frac{n\pi}{4} = \left\{\begin{array}{ll}
2^{\frac{n+2}{2}} & (m=0)\\
2^{\frac{n+1}{2}} & (m=1, 7)\\
0 & (m=2, 6)\\
\,-2^{\frac{n+1}{2}} & (m=3, 5)\\
\,-2^{\frac{n+2}{2}} & (m= 4)
\end{array}\right.\tag{2}
\end{align*}
となります．

よって， $(1)$ をみたす $n$ を 8 で割った余りは $0, 1, 7$ のいずれかであることがわかります．