神大 2019 年度理科系第 4 問

問題．

少し面白い問題があったので，紹介します．

次のように $1, 3, 4$ を繰り返して並べて得られる数列を $\{a_n\}$ とする．
$1, 3, 4, 1, 3, 4, 1, 3, 4, \ldots$ すなわち， $a_1=1$ , $a_2=3$ , $a_3=4$ で，4 以上の自然数 $n$ に対し， $a_n=a_{n-3}$ とする．この数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする．以下の問に答えよ．
(1) $S_n$ を求めよ．
(2) $S_n=2019$ となる自然数 $n$ は存在しないことを示せ．
(3) どのような自然数 $k$ に対しても， $S_n=k^2$ となる自然数 $n$ が存在することを示せ．

(1) の結果を利用して，(2) を解きます．
(3) は，数列 $\{S_n\}$ にすべての平方数が登場することを示せ，という問題． $S_n$ の性質に気づくことができれば比較的簡単に示すことができます．

解答例．

(1)

数列 $\{a_n\}$ が 3 項で周期になっているので， $n$ を 3 で割った余りで場合分けしていきます．

[i] $n=3m$ , $m$ が自然数のとき
$1, 3, 4$ の周期を $m$ 回繰り返すので，

$\begin{align*} S_n &= (1+3+4)m\\ &= 8m\\ &= \frac{8}{3}n \end{align*}$

[ii] $n=3m-2$ , $m$ が自然数のとき

$\begin{align*} S_n &= (1+3+4)(m-1)+1\\ &= 8m-7\\ &= 8\cdot\frac{1}{3}(n+2)-7\\ &= \frac{8}{3}n-\frac{5}{3} \end{align*}$

[ii] $n=3m-1$ , $m$ が自然数のとき

$\begin{align*} S_n &= (1+3+4)(m-1)+1+3\\ &= 8m-4\\ &= 8\cdot\frac{1}{3}(n+1)-4\\ &= \frac{8}{3}n-\frac{4}{3} \end{align*}$

(2)

(1) の結果を利用します．

[1] $n=3m$ , $m$ が自然数のとき

\begin{align*}
\frac{8}{3}n &= 2019\\
n &= \frac{6057}{8}
\end{align*}となり， $S_n=2019$ となる $n$ は存在しません．

[2] $n=3m-2$ , $m$ が自然数のとき

\begin{align*}
\frac{8}{3}n-\frac{5}{3} &= 2019\\
n &= \frac{3031}{4}
\end{align*}となり， $S_n=2019$ となる $n$ は存在しません．

[3] $n=3m-1$ , $m$ が自然数のとき

\begin{align*}
\frac{8}{3}n-\frac{4}{3} &= 2019\\
n &= \frac{6061}{8}
\end{align*}となり， $S_n=2019$ となる $n$ は存在しません．

(2)の別解

数列 $\{a_n\}$ は $1, 3, 4$ が繰り返されてるので， $\{S_n\}$ に現れる項を 8 で割った余りは $0, 1, 4$ のいずれかになります．一方，2019 を 8 で割った余りは 3 なので， $\{S_n\}$ には現れません．

(3)

(2) の別解に書いたように，数列 $\{S_n\}$ には 8 で割った余りが $0, 1, 4$ である自然数が全て現れます．そこで， $k^2$ を 8 で割った余りを考えます． $k$ を 8 で割った商を $a$ , 余りを $b$ とする( $0\leqq b\leqq 7$ )と，

\begin{align*}
k^2 &= (8a+b)^2\\
&= 64a^2+16ab+b^2\\
&\equiv b^2\pmod{8}.
\end{align*}

$b=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ について， $b^2$ を 8 で割った余りを考えると，

\begin{align*}
0^2 = 0 \equiv 0\\
1^2 = 1 \equiv 1\\
2^2 = 4 \equiv 4\\
3^2 = 9 \equiv 1\\
4^2 = 16\equiv 0\\
5^2 = 25\equiv 1\\
6^2 = 36\equiv 4\\
7^2 = 49\equiv 1
\end{align*}より，すべて $0, 1, 4$ のいずれかになるので，どのような自然数 $k$ に対しても， $S_n=k^2$ となる自然数 $n$ が存在します．

数学の力

京大生が数学の定理・公式の証明や入試問題の解説をするブログ.

神大 2019 年度理科系第 4 問

問題．

解答例．

(1)

(2)

(2)の別解

(3)