数学の力

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京大 2019 年度理系第 5 問(最大値)


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問題.

半径 1 の球面上の 5 点  \mathrm{A}, \mathrm{B}_1, \mathrm{B}_2, \mathrm{B}_3, \mathrm{B}_4 は,正方形  \mathrm{B}_1\mathrm{B}_2\mathrm{B}_3\mathrm{B}_4 を底面とする四角錐をなしている.この 5 点が球面上を動くとき,四角錐  \mathrm{A}\mathrm{B}_1\mathrm{B}_2\mathrm{B}_3\mathrm{B}_4 の体積の最大値を求めよ.


体積を求める必要があるので,自分で変数を導入して,体積を表し最大値を求めていきます.
正四面体とは問題文に書いていないので,そこだけ注意しましょう.
球に内接する四角錐の問題ですが,半分に切った断面図を考えると分かりやすいです.



解答例.

原点を中心とする単位球を考えます.

正方形  \mathrm{B}_1\mathrm{B}_2\mathrm{B}_3\mathrm{B}_4 が平面  z=-t, (0 < t < 1) 上にあるとしても一般性を失いません.

このとき,三平方の定理から,4 頂点  \mathrm{B}_1, \mathrm{B}_2, \mathrm{B}_3, \mathrm{B}_4 z 軸との距離は  \sqrt{1-t^2} なので,正方形  \mathrm{B}_1\mathrm{B}_2\mathrm{B}_3\mathrm{B}_4 の面積は

\begin{align*}
2\cdot\sqrt{1-t^2}\cdot\sqrt{1-t^2} = 2(1-t^2).
\end{align*}


 t を固定した状態でもう一つの頂点  \mathrm{A} を球面上で動かしたときに四角錐の体積が最大となるのは,点  \mathrm{A} の座標が  (0,0,1) のときであり,その体積を  V とすると,

\begin{align*}
V &= \dfrac{1}{3}\cdot 2(1-t^2)\cdot |1-(-t)|\\
&= \dfrac{2}{3}(1-t^2)(1+t)\\
&= \dfrac{2}{3}(1+t-t^2-t^3).
\end{align*}

微分して,

\begin{align*}
\dfrac{V}{t} &= \dfrac{2}{3}(1-2t-3t^2)\\
&= \dfrac{2}{3}(1-3t)(1+t).
\end{align*}

 V の増減表は以下のようになります.

\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|}\hline
t & 0 & \cdots & \frac{1}{3} & \cdots & 1\\ \hline
\frac{dV}{dt} &  & + & 0 & - & \\ \hline
V & 0 & \nearrow & & \searrow & \\\hline
\end{array}

よって, t=\frac{1}{3} のとき体積  V は最大となり,そのとき
\begin{align*}
V &= \dfrac{2}{3}\left\{1-\left(\frac{1}{3}\right)^2\right\}\left(1+\frac{1}{3}\right)\\
&= \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{8}{9}\cdot \dfrac{4}{3}\\
&= \dfrac{64}{81}.
\end{align*}



微分しない方法.

上では素直に微分を用いて最大値を求めましたが,相加相乗平均を用いて最大値を求めることもできます.詳しくはこちらの記事を見て下さい.

今回の場合,3 項の相加相乗平均の関係を少し変形した,

\begin{align*}
abc \leqq \left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^3
\end{align*}

を用います.

まず  1-t^2 の部分を因数分解します.

そして,相加相乗平均の関係を使ったときに  t が消えるようにするために,2 をくくりだします.

\begin{align*}
V &= \dfrac{2}{3}(1-t^2)(1+t)\\
&= \dfrac{2}{3}(1+t)^2(1-t)\\
&= \dfrac{2}{3}\cdot 2^2\cdot \left(\frac{1}{2}+\frac{t}{2}\right)^2(1-t)\\
&= \dfrac{8}{3}\left(\frac{1}{2}+\frac{t}{2}\right)\cdot 2(1-t)\\
&\leqq \dfrac{8}{3}\left(\dfrac{(1/2+t/2)+(1/2+t/2)+(1-t)}{3}\right)^3\\
&= \dfrac{8}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^3\\
&= \frac{64}{81}.
\end{align*}

となり同じ答えになります.