自作問題
問題．今回は，自作問題の30番の解説です．問題． がすべての自然数 に対して平方数となるような自然数 を求めよ． この手の問題は方針を考えるために， に具体的な値を代入して調べてみましょう． 解答例，解説とおいて， を調べてみます．\begin{align*} f…
問題．今回は，自作問題の8番，軌跡の問題です．問題． 楕円 に対し， の外部の点 を通る 2 本の接線が直交するような点 の軌跡を求めよ． この結果は有名なので，知っているかもしれません． の部分に具体的な数字が入っている場合は入試問題でも出題された…
問題．今回は，自作問題の31番，2 変数の絡んだ数学的帰納法の問題です．問題． 任意の非負整数 について， を で割った余りが 1 であることを示せ．この問題はもともと，2 変数の入った問題ではなく， の部分に具体的な数値の入った次のような問題でした．…
問題.自作問題の 15 番です. 数学的帰納法に分類していますが, この分類でいいのか怪しいです...問題. , は自然数, とする.任意の自然数 に対して,を満たすような自然数 が存在することを示せ. 例えば, でのとき,\begin{align*} a_2 &= 5+2\sqrt{6}\\ &= \sq…
以前に相反方程式の応用問題(自作問題)の記事を書きましたが, 今回は相反方程式の自作問題 Part2 です. 相反方程式の形が繰り返し出てくる問題を作れないか, というアイデアから作った問題です.問題. 12 次方程式\begin{align*} 3x^{12}&+20x^{11}-21x^{10}-…
問題.自作問題の26番 (有名な問題かもしれませんが) です. 問題. かつ を満たす有理数 の組を の値の小さい順に並べたとき, 番目の組 (:自然数)は\begin{align*} (a, b) = \left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n, \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\right) \en…
問題.自作問題の17番です.この問題は比較的簡単です. 問題. 整数定数 が を満たす．このとき，任意の整数 に対して\begin{align*} px^2+qxy+ry^2 = n \end{align*}を満たす，互いに素な整数 の組が存在することを示せ． が互いに素とは， の両方を割り切る自…
問題.1 辺の長さが の立方体と 1 辺の長さが の正四面体を考える. 2 つの立体の体積の和が 1 となるように を変化させるとき, 2 つの立体の表面積の和が最大となるときの 2 つの立体の体積比を求めよ.自作問題の22 番の解答, 解説をします. まず, 1 辺が の…
問題.自作問題集の18番, 不等式の証明の問題です. 問題.関数 はすべての整数 に対し を満たし, すべての実数 に対して を満たす. 以下の問に答えよ.(1) を示せ.(2) を示せ. 但しはの逆関数である. 整数 に対して となることを利用して, の値の範囲を考えてい…
問題.自作問題の27番, 中間値の定理を利用する問題です. 問題. 周期 の連続な周期関数 について, 以下の条件を満たす実数 が存在することを示せ.\begin{align*} (\ast)\left\{\begin{array}{ll} 0\leqq p f(p) = f(p+\frac{\omega}{2}) \end{array} \right. …
問題.自作問題集の2番, 整数の問題です. 問題. が の倍数となるような自然数 を全て求めよ. 与えられた条件から, 自然数についての条件を狭めていきます. 下の解答例以外にも解き方はあるかもしれません. 解答例.がの倍数のとき, , (は自然数)とおける.\begi…
問題.自作問題の12番, 数学的帰納法と極限の問題です. 問題.(1). 任意の自然数対してが成り立つことを証明せよ.(2). を求めよ. (1)は数学的帰納法を用いて示します.(1)は有名な等式なので, 1995年度神戸大学や, 2005年度大阪大学の入試でも問われています.(2…
問題.自作問題集の1-(11), 整数の問題です. 問題. を非負整数, を自然数とする. は2で何回割り切れるか. 2で割り切れる回数を直接数え上げることはできないので, いくつかの整数の積として表し数えていきます. 解答例.を自然数として, が2で何回割り切れるか…
問題.自作問題集の14, 確率とコンビネーションの計算の問題です. 問題. 個の赤玉と 個の白玉が入った袋から 個の玉を同時に取り出すとき, 赤玉が 個 含まれる確率を とするとき, , をそれぞれ求めよ. 解答例. 個から 個を取り出す方法が 通り. 赤玉 個のとき…
問題.今回は自作問題の4, 図形と整数問題です. 問題.円に内接する四角形があり, 辺と辺の長さは等しい. 辺及び対角線の長さをとおき, 四角形の外接円, の内接円及びの内接円の半径をそれぞれとおくとき, 以下の条件()が成り立つ. の値をそれをれ求めよ.\begi…
問題.今回は自作問題集1-(13), 極限の計算の問題です. 問題. 次の極限を求めよ. 但し, の逆関数をとする.\begin{align*} \lim_{a\to+0} \dfrac{1}{a}\sin^{-1}\left(\dfrac{1-\cos{a}}{a}\right) \end{align*} 三角関数の逆関数を含む極限の問題ですが, の性…
問題.今回は自作問題の10, 無限降下法による証明の例題です.問題.をみたす自然数の組は存在しないことを示せ. 無限降下法について, 詳しい説明は「いろいろな証明の方法」を参照してください. また, この問題を無限降下法を使わずに背理法で証明する場合につ…
問題.今回は自作問題の3, 区分求積法を利用する問題です. 問題. を自然数とする. 以下の問いに答えよ.(1) を計算せよ.(2) 自然数に対して, とおくとき, 全てのに対してが成り立つような実数が存在することが分かっている. このときを区分求積法を用いて示せ.…
問題.今回は, 自作問題の1-(10), 2変数関数の最大値の解答・解説です. 問題. 実数がの範囲を互いに独立に動くとき,の最大値と, そのときのの値を求めよ. 通常2変数関数の最大・最小値問題では, まず を固定して だけを変数と考えて最大・最小となる (通常 の…
問題.今回は, 自作問題の1-(12), コンビネーションを含む計算の解答・解説です. 問題. とする. を満たす整数についてを計算せよ. こういった問題ではやとして小さい数(0, 1, 2)などを実際に入れて計算してみることで答えを予想すると筋道が立ちやすいかもし…
[tex: \displaystyle p_n = \sum_{k=0}^n k\cdot{}_nC_k] 及び， [tex: \displaystyle q_n = \sum_{k=n+1}^{2n} {}_kC_n] をそれぞれ計算せよ．但し，[tex: n]は自然数である.
[tex: x^{2n}]を[tex: (x-2)^n]で割ったときの商を[tex: Q(x)], 余りを[tex: R(x)]とする. [tex: R(x)]の最高次の項の係数と, 定数項を求めよ. [tex: n]は自然数とする.
[tex: \displaystyle \left(x+\frac{1}{4x}-1\right)^n] を展開したときの定数項を求めよ. 但し, [tex: n]は自然数の定数である.
2以上の自然数[tex: n]に対して, [tex: \displaystyle a_n = \frac{1}{n}\sqrt\[n\]{\sum_{k=1}^{n} \{k(k+1)\cdots(k+n-2)\}}]
自然数[tex: n]に対して [tex: \displaystyle a_n=\frac{1}{n}\sqrt\[n\]{1\cdot 3\cdots(2n-1)}] とおくとき, 極限[tex: \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n]を求めよ.
次の極限[tex: (*)]はある実数値に収束する. 区分求積法を用いてその値を求めよ. 但し, [tex: a]は1でない正の実数とする. [tex: \displaystyle (*):\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt\[n\]{a}}{n(\sqrt\[n\]{a}-1)}]
極限[tex: \displaystyle \lim_{n\to+0} \int_{n}^{\frac{\pi}{4}} \left(\frac{x}{\tan{x}}-1\right)^2 dx]を計算せよ.
[tex: \displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{|x^3|e^{x^2}}{1+e^x} \,dx]の値が[tex: \displaystyle \int_{0}^{1} x^3e^{x^2} \,dx]の値に等しいことを示し, その値を計算せよ.
自作問題集これまでに自作した数学の問題を集めました. 今後も新しく問題を追加していく予定です.難易度はかなり高めなので, 高校レベルの知識では難しい問題も含まれています.(問題1. を含む何問かは高校数学の知識で解けるようになっています. )こちらのリ…
問題. \(x\) の方程式 \(2x^6-15x^5+28x^4+6x^3-28x^2-15x-2=0\) の解を全て求めよ.
