図形と整数問題(自作問題4)

問題.

今回は自作問題の4, 図形と整数問題です.

問題.

円に内接する四角形があり, 辺と辺の長さは等しい. 辺及び対角線の長さをとおき, 四角形の外接円, の内接円及びの内接円の半径をそれぞれとおくとき, 以下の条件()が成り立つ. の値をそれをれ求めよ.

\begin{align*}
(*):\left\{\begin{array}{lll}
\alpha, \beta, \gamma, \delta\,\,\textrm{はすべて整数で，どの2つをとっても互いに素}\\
R:r_1:r_2=14:3:6\\
\angle{ADC}=60^\circ \nonumber
\end{array} \right.
\end{align*}

 

図形の性質から, 正弦定理, (第2)余弦定理などを使ってについての方程式を求め, 整数問題として解いていく問題です.

正弦定理

の外接円の半径をとすると,

\begin{align*}
\dfrac{a}{\sin{A}} = \dfrac{b}{\sin{B}}=\dfrac{c}{\sin{C}}=2R
\end{align*}

 

余弦定理

において,

\begin{align*}
a^2 &= b^2+c^2-2bc\cos{A}\\
b^2 &= c^2+a^2-2ca\cos{B}\\
c^2 &= a^2+b^2-2ab\cos{C}
\end{align*}

 

解答.

\begin{align}
\end{align}

\begin{align}
\end{align}
において正弦定理より,
\begin{align*}
R = \frac{1}{2}\cdot\frac{\delta}{\sin{60^\circ}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\delta
\end{align*}
の面積について,
\begin{align*}
\frac{1}{2}\cdot\beta\cdot\gamma\cdot\sin{60^\circ}&= \frac{1}{2}\cdot r_2\cdot(\beta+\gamma+\delta)\\
\therefore r_1 &= \frac{\beta\gamma}{\beta+\gamma+\delta}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{align*}
四角形が円に内接するので, となるから, の面積について,
\begin{align*}
\frac{1}{2}\cdot \alpha\cdot\beta\cdot\sin{120^\circ} &= \frac{1}{2}\cdot r_1\cdot (\alpha+\beta+\delta)\\
\therefore r_1 &= \frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta+\delta}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{align*}
2番目の条件より,
\begin{align*}
\frac{\sqrt{3}}{3}\delta : \frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta+\delta}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} : \frac{\beta\gamma}{\beta+\gamma+\delta}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 14 : 3 : 6
\end{align*}
\begin{align*}
\therefore \left\{
\begin{array}{ll}
\delta(\alpha+\beta+\delta)=7\alpha\beta\quad\cdots(1)\\
2\delta(\beta+\gamma+\delta)=7\beta\gamma\quad\cdots(2)
\end{array}
\right.
\end{align*}
において, 余弦定理より
\begin{align}
\delta^2 = \alpha^2+\beta^2-2\alpha\beta\cos{120^\circ}=\alpha^2+\beta^2+\alpha\beta
\end{align}
において, 余弦定理より
\begin{align}
\delta^2=\beta^2+\gamma^2-2\beta\gamma\cos{60^\circ}=\beta^2+\gamma^2-\beta\gamma
\end{align}
(3)-(4)より,
\begin{align*}
0 = \alpha^2-\gamma^2+\beta(\alpha+\gamma)\\
\therefore (\alpha+\gamma)(\alpha-\gamma+\beta)= 0
\end{align*}
なので, となり, .
(2)に代入して,
\begin{align}
2\delta(\alpha+2\beta+\delta)=7\beta(\alpha+\beta)
\end{align}
(5)-(1)より,
\begin{align*}
2\beta\delta = 7\beta(-\alpha+\beta)
\end{align*}
なので両辺をで割って,
\begin{align*}
2\delta = 7(-\alpha+\beta)
\end{align*}
は7の倍数となるので, (:自然数)とおくと, より,
(1)に代入して,
\begin{align*}
7k(2\alpha+9k) &= 7\alpha(\alpha+2k)\\
\alpha^2&= 9k^2
\end{align*}
, なので, . また, , .
ここで1つ目の条件からは互いに素なので, となる.
従って, , , , .