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確率とコンビネーションの計算(自作問題14)


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問題.

自作問題集の14, 確率とコンビネーションの計算の問題です.

 

問題.

 n 個の赤玉と  n 個の白玉が入った袋から  n 個の玉を同時に取り出すとき, 赤玉が  k (0\leqq k\leqq n) 含まれる確率を  p_k とするとき,  \displaystyle\sum_{k=1}^n p_k,  \displaystyle\sum_{k=1}^n k^2p_k をそれぞれ求めよ.





解答例.

 2n 個から  n 個を取り出す方法が  {}_{2n}C_n 通り. 赤玉  k 個のとき, 白玉は  n-k 個取り出すことになるので, その場合の取り出し方は  {}_nC_k\cdot{}_nC_{n-k}=({}_nC_k)^2 通り. 故に,
\begin{align*}
p_k = \frac{({}_nC_k)^2}{{}_{2n}C_n}
\end{align*}
(確率の定義により, )
\begin{align}
\sum_{k=0}^n p_k = 1 \tag{1}
\end{align}
であるから,
\begin{align*}
\sum_{k=1}^n p_k &= 1-p_0\\
&= 1-\frac{1}{{}_{2n}C_n}
\end{align*}
また, 式(1)より,
\begin{align*}
\sum_{k=0} ^ n \frac{({}_nC_k)^2}{{}_{2n}C_n}&= 1\\
\therefore \sum_{k=0} ^ n ({}_nC_k) ^ 2 &= {}_{2n}C_n
\end{align*}

 n\geqq 2, k\geqq 1 のとき
\begin{align*}
k\cdot {} _ nC _ k &=  k\cdot\frac{n!}{k!(n-k)!}\\
&=  n\cdot\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\\
&=  n\cdot{} _ {n-1}C _ {k-1}
\end{align*}
なので,  n\geqq 2 のとき
\begin{align*}
\sum_{k=1} ^ n k ^ 2p_k &=  \frac{1}{{}_{2n}C_n}\sum_{k=1} ^ n (k\cdot {}_nC_k) ^ 2\\
&=  \frac{1}{{}_{2n}C_n}\sum_{k=1} ^ n(n\cdot{}_{n-1}C_{k-1}) ^ 2\\
&=  \frac{n ^ 2}{{}_{2n}C_n}\sum_{k=1} ^ n ({}_{n-1}C_{k-1}) ^ 2\\
&= \frac{n ^ 2}{{}_{2n}C_n}\sum_{k=0} ^ {n-1}({}_{n-1}C_k) ^ 2\\
&=  \frac{n ^ 2}{{}_{2n}C_n}\cdot{}_{2(n-1)}C_{n-1}\\
&=  n ^ 2\cdot\frac{(n!) ^ 2}{(2n)!}\cdot\frac{(2(n-1))!}{((n-1)!) ^ 2}\\
&=  \frac{n ^ 4}{2n(2n-1)}\\
&=  \frac{n ^ 3}{2(2n-1)}
\end{align*}
これは  n=1 のときも成り立つ.
よって,
\begin{align*}
\sum_{k=1} ^ n k ^ 2p_k = \frac{n ^ 3}{2(2n-1)}
\end{align*}

 

追記.

この問題では, 後半部分で必要なコンビネーションの2乗和

\begin{align*}
\sum_{k=0} ^ n ({}_nC_k) ^ 2 = {}_{2n}C_n
\end{align*}

を知らなくても, 前半部分で導かれることに気付けるかどうか, がカギになっています.