2変数関数の最大値～図形で考える(自作問題1-(10))

問題.

今回は, 自作問題の1-(10), 2変数関数の最大値の解答・解説です.

問題.

実数 $p, q$ が $0\leqq p<2\pi,\ 0\leqq q<2\pi$ の範囲を互いに独立に動くとき,

$z=\dfrac{\cos{p}+\cos{q}}{3+\sin{p}+\sin{q}}$

の最大値と, そのときの $\sin{p}, \cos{p}, \sin{q}, \cos{q}$ の値を求めよ.

通常2変数関数の最大・最小値問題では, まず $q$ を固定して $p$ だけを変数と考えて最大・最小となる $p$ (通常 $q$ の関数として表される)を求め, 次にその $p$ を代入して $q$ の身の関数として最大・最小値を求めます.

しかし, 今回の問題では与えられた $z$ を $p$ で微分しても複雑な式になり, 上手く解けません.

今回の場合, 分数の形をしているので, $z$ を座標平面上の2点を通る直線の傾きと見なして, 図形で考えていきます.

解答例.

$xy$ 平面上で2点 $A(3+\sin{p}, \cos{p})$ , $B(-\sin{q}, -\cos{q})$ を考える. このとき,

$\begin{align*} z = \frac{\cos{p}+\cos{q}}{3+\sin{p}+\sin{q}} \end{align*}$

は直線 $AB$ の傾きを表しています.

$p, q$ が $0\leqq p<2\pi$ , $0\leqq q<2\pi$ の範囲で変化するとき, 点 $A$ は円 $(x-3)^2+y^2=1$ 上を, 点 $B$ は円 $x^2+y^2=1$ 上を, それぞれ独立に動く. 直線 $AB$ の傾き $z$ が最大となるのは, 図のように直線 $AB$ の傾きが正で2円の共通内接線となっているとき.

$O^\prime(3, 0)$ とし, 直線 $AB$ と $x$ 軸の交点を $P$ とする. 図形の対称性から $\displaystyle P\left(\frac{3}{2}, 0\right)$ . $AO^\prime=1$ , $\displaystyle PO^\prime=\frac{3}{2}$ なので, $\triangle{APO^\prime}$ で三平方の定理から $\displaystyle AP=\frac{\sqrt{5}}{2}$ となります.

直線 $AB$ の傾きは, $AP$ の傾きを計算すればよいが, $A$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足を $H$ とすれば $\triangle{APH}$ と $\triangle{O^\prime PA}$ が相似であることから, 傾きは

$\begin{align*} \frac{AH}{PH} = \frac{AO^\prime}{PA} = \frac{2}{5}\sqrt{5} \end{align*}$

よって, $z$ の最大値は $\displaystyle \frac{2}{5}\sqrt{5}$ . このとき, 2点 $A, B$ の座標を求めると, $\displaystyle A\left(\frac{7}{3}, \frac{\sqrt{5}}{3}\right)$ , $\displaystyle B\left(\frac{2}{3}, -\frac{\sqrt{5}}{3}\right)$ となるので, $\displaystyle \sin{p} = -\frac{2}{3}, \cos{p} = \frac{\sqrt{5}}{3}, \sin{q} = -\frac{2}{3}, \cos{q} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ .

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2変数関数の最大値～図形で考える(自作問題1-(10))

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解答例.