自作問題15 (数学的帰納法)

問題.

自作問題の 15 番です. 数学的帰納法に分類していますが, この分類でいいのか怪しいです...

問題.

$a_n=(\sqrt{s}+\sqrt{s+t})^n$ , $s, t$ は自然数, $n=1, 2, \ldots$ とする.

任意の自然数 $n$ に対して,

$a_n=\sqrt{s_n}+\sqrt{s_n+t^n}$

を満たすような自然数 $s_n$ が存在することを示せ.

例えば, $s=2, t=1$ で

$a_n = (\sqrt{2}+\sqrt{3})^n$

のとき,

\begin{align*}
a_2 &= 5+2\sqrt{6}\\
&= \sqrt{24}+\sqrt{25}\\
a_3 &= 11\sqrt{2}+9\sqrt{3}\\
&= \sqrt{242}+\sqrt{243}\\
a_4 &= 49 + 20\sqrt{6}\\
&= \sqrt{2400}+\sqrt{2401}
\end{align*}

のようになっています.

解答例.

$a_n = (\sqrt{s}+\sqrt{s+t})^n$

は, 展開して整理すると

$a_n = \alpha_n+\beta_n\sqrt{s}+\gamma_n\sqrt{s+t}+\delta_n\sqrt{s(s+t)}$

$\alpha_n, \beta_n, \gamma_n, \delta_n\in\mathbb{N}$ という形に書けます.

$\alpha_1=0, \beta_1=1, \gamma_1=1, \delta_1=0$ です.

このとき,
\begin{align*}
a_{n+1} &= (\sqrt{s}+\sqrt{s+t})a_n\\
&= (\sqrt{s}+\sqrt{s+t})\left(\alpha_n+\beta_n\sqrt{s}+\gamma_n\sqrt{s+t}+\delta_n\sqrt{s(s+t)}\right)\\
&= (\beta_ns+\gamma_n(s+t))+(\alpha_n+\delta_n(s+t))\sqrt{s}\\
&\quad\quad+(\alpha_n+\delta_ns)\sqrt{s+t}+(\beta_n+\gamma_n)\sqrt{s(s+t)}
\end{align*}

より,

\begin{align*}
\alpha_{n+1} &= \beta_ns+\gamma_n(s+t)\\
\beta_{n+1} &= \alpha_n+\delta_n(s+t)\\
\gamma_{n+1} &= \alpha_n+\delta_ns \tag{1} \\
\delta_{n+1} &= \beta_n+\gamma_n
\end{align*}

このとき,

\begin{align*}
\def\coloneqq{\mathrel{\mathop:}=}
\tilde{a}_n &\coloneqq (\sqrt{s}-\sqrt{s+t})^n\\
&= \alpha_n+\beta_n\sqrt{s}-\gamma_n\sqrt{s+t}-\delta_n\sqrt{s(s+t)}
\end{align*}

となることを帰納法で示すことができます.

すると,

\begin{align*}
a_n &= \alpha_n+\beta_n\sqrt{s}+\gamma_n\sqrt{s+t}+\delta_n\sqrt{s(s+t)}\\
&= \sqrt{\left(\alpha_n+\beta_n\sqrt{s}\right)^2}+\sqrt{\left(\gamma_n\sqrt{s+t}+\delta_n\sqrt{s(s+t)}\right)^2}
\end{align*}

で,

\begin{align*}
\left|\left(\alpha_n+\beta_n\sqrt{s}\right)^2-\left(\gamma_n\sqrt{s+t}+\delta_n\sqrt{s(s+t)}\right)^2\right| &= \left|a_n\tilde{a}_n\right|\\
&= \left|\left((\sqrt{s}+\sqrt{s+t})(\sqrt{s}-\sqrt{s+t})\right)^n\right|\\
&= \left|\left(s-(s+t)\right)^n\right|\\
&= t^n
\end{align*}

が成り立つので, $\left(\alpha_n+\beta_n\sqrt{s}\right)^2$ と $\left(\gamma_n\sqrt{s+t}+\delta_n\sqrt{s(s+t)}\right)^2$ の小さい方を $s_n$ とおけば, $a_n = \sqrt{s_n}+\sqrt{s_n+t^n}$ となります.

後は, $s_n$ が自然数になっているかどうかを確認します.

$\alpha_1=\delta_1=0$ と, (1) から, 帰納的に

$n$ が奇数のとき $\alpha_n=\delta_n=0$ ,

$n$ が偶数のとき $\beta_n=\gamma_n=0$

となり, (はじめに書いた $s=2, t=1$ の例を見てもこうなっています)

どちらの場合も $s_n$ は自然数となります.

少し解説？

まず, 展開すると

$a_n = \alpha_n+\beta_n\sqrt{s}+\gamma_n\sqrt{s+t}+\delta_n\sqrt{s(s+t)}$

$\alpha_n, \beta_n, \gamma_n, \delta_n\in\mathbb{N}$

の形で書けることは容易にわかると思います.

具体的な例で計算してみると, 実際には 4 項のうち 2 項は係数が 0 になり消えることが分かります.

(上に書いた例をもう一度載せておきます)

$s=2, t=1$

$a_n = (\sqrt{2}+\sqrt{3})^n$

のとき,

\begin{align*}
a_2 &= 5+2\sqrt{6}\\
&= \sqrt{24}+\sqrt{25}\\
a_3 &= 11\sqrt{2}+9\sqrt{3}\\
&= \sqrt{242}+\sqrt{243}\\
a_4 &= 49 + 20\sqrt{6}\\
&= \sqrt{2400}+\sqrt{2401}
\end{align*}