数学の力

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整数の問題(自作問題2)


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問題.

自作問題集の2番, 整数の問題です.

 

問題. 

 n^2+2 2n+1 の倍数となるような自然数  n を全て求めよ.

 

与えられた条件から, 自然数 nについての条件を狭めていきます.

 

下の解答例以外にも解き方はあるかもしれません.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解答例.

 n^2+2 2n+1の倍数のとき,  n^2+2=k(2n+1), ( k自然数)とおける.

\begin{align}
n^2-2kn+2-k=0
\end{align}

 nについて解いて,

 \begin{align*}
n &=   k\pm \sqrt{k ^ 2-(2-k)}\\
&=   k\pm\sqrt{k ^ 2+k-2}
\end{align*}

 n,  k自然数より \sqrt{k^2+k-2}も整数なので,  \sqrt{k^2+k-2}=m( m:非負整数)とおくと,

\begin{align}
k ^ 2+k-(2+m ^ 2) = 0
\end{align}

これを kについて解いて,

\begin{align*}
k &=   \frac{1}{2}\left\{-1\pm\sqrt{1+4(2+m ^ 2)}\right\}\\
&=   \frac{1}{2}\left\{-1\pm\sqrt{4m ^ 2+9}\right\}
\end{align*}

\begin{align*}
\therefore 2k = -1\pm\sqrt{4m^2+9}
\end{align*}

 k自然数より,  \sqrt{4m^2+9}は整数で,  \sqrt{4m^2+9}=l( l:非負整数)とおくと,

\begin{align*}
4m ^ 2+9&=  l^2\\
l ^ 2-4m ^ 2&=  9\\
(l+2m)(l-2m)&=  9
\end{align*}

 l,  m:非負整数より,  l\pm 2mは整数で,  l+2m\geqq 0,  l+2m\geqq l-2m.

よって,  (l+2m, l-2m)=(9, 1), (3, 3)より (l, m)=(5, 2), (3, 0).

 

 (l, m)=(5, 2)のとき

(2)より

\begin{align*}
k ^ 2+k-6&=  0\\
(k+3)(k-2) &=   0
\end{align*}

 k自然数より k=2となり, (1)より

\begin{align*}
n ^ 2-4n&=  0\\
n(n-4) &=   0
\end{align*}

 n自然数より,  n=4.

 

 (l, m)=(3, 0)のとき

(2)より

\begin{align*}
k ^ 2+k-2&=  0\\
(k+2)(k-1) &=   0
\end{align*}

 k自然数より k=1となり, (1)より

\begin{align*}
n ^ 2-2n+1&=  0\\
(n-1)^2 &=   0
\end{align*}

 n自然数より,  n=1.

以上より,  n=1, 4.