問題.
今回は, 自作問題の1-(8),コンビネーションと和の計算の解答,解説です.
今回の問題は,コンビネーションの計算において重要なものを集めた形になっています.
については,まず
のとき
そして, 二項定理
において,, の部分を とした式を利用します.
については,コンビネーションが満たす式
を利用します.
解答例.
について
のとき なので,・ のとき
\begin{align*}
p_1=1\cdot {}_1C_1=1
\end{align*}
・ のとき
なので,
2行目から3行目は, を改めて とおき直しています.
この式は のときも成り立つので,.
について
が成り立つことから, なので,
\begin{align*}
q_n &= \sum_{k=n+1}^{2n} {}_kC_n\\
&= \sum_{k=n+1}^{2n} ({}_{k+1}C_{n+1}-{}_kC_{n+1})\\
&= {}_{2n+1}C_{n+1}-{}_{n+1}C_{n+1}\\
&= {}_{2n+1}C_{n+1}-1.
\end{align*}
2行目から3行目では別の記事「特殊な形の和の計算」で紹介した形になっています.