数学の力

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コンビネーションと和の計算(自作問題(8))

問題.

今回は, 自作問題の1-(8),コンビネーションと和の計算の解答,解説です.

 

問題 :

 \displaystyle p_n = \sum_{k=0}^n k\cdot{}_nC_k

及び,

 \displaystyle q_n = \sum_{k=n+1}^{2n} {}_kC_n

をそれぞれ計算せよ.但し, n自然数である.

 

今回の問題は,コンビネーションの計算において重要なものを集めた形になっています.

 

 p_n については,まず

 1\leqq k\leqq n のとき

 k\cdot {}_nC_k = n\cdot {}_{n-1}C_{k-1}

という性質(変形)を使います.この等式を示すための変形は下の解答例の中に書いています.

 

そして, 二項定理

 \displaystyle (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n} {}_nC_k\cdot a^k\cdot b^{n-k}

において, a=b=1,  n の部分を  n-1 とした式を利用します.

 

 q_n については,コンビネーションが満たす式

 {}_nC_k = {}_{n-1}C_{k-1}+{}_{n-1}C_{k}

を利用します.

 

 

 

 

 

 

 

解答例.

 p_nについて

 k=0 のとき  k\cdot{}_nC_k=0 なので, \displaystyle p_n=\sum_{k=1}^{n} k\cdot{}_nC_k

 n=1 のとき

\begin{align*}
p_1=1\cdot {}_1C_1=1
\end{align*}

 n\geqq 2 のとき

\begin{align*}
k\cdot{}_nC_k &=  k\cdot\frac{n!}{k!(n-k)!}\\
&=  n\cdot\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\\
&=  n\cdot{}_{n-1}C_{k-1}
\end{align*}

なので,

\begin{align*}
p_n &=  \sum_{k=1}^{n} n\cdot{}_{n-1}C_{k-1}\\
&=  n\sum_{k=1}^{n} {}_{n-1}C_{k-1}\\
&=  n\sum_{k=0}^{n-1} {}_{n-1}C_{k}\\
&=  n\cdot 2^{n-1}.
\end{align*}

2行目から3行目は, k-1 を改めて  k とおき直しています.

この式は  n=1 のときも成り立つので, p_n = n\cdot 2^{n-1}.

 

 q_n について

 {}_kC_n + {}_kC_{n+1} = {}_{k+1}C_{n+1} が成り立つことから,

 {}_kC_n = {}_{k+1}C_{n+1}-{}_kC_{n+1} なので,
\begin{align*}
q_n &= \sum_{k=n+1}^{2n} {}_kC_n\\
&= \sum_{k=n+1}^{2n} ({}_{k+1}C_{n+1}-{}_kC_{n+1})\\
&= {}_{2n+1}C_{n+1}-{}_{n+1}C_{n+1}\\
&= {}_{2n+1}C_{n+1}-1.
\end{align*}

 

2行目から3行目では別の記事「特殊な形の和の計算」で紹介した形になっています.