数学の力

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区分求積法を用いた極限の計算(自作問題1-(4))

問題.

自作問題集の1-(4), 区分求積法を用いた極限の計算の問題の解答, 解説をします.

問題. 

次の極限 (*)はある実数値に収束する. 区分求積法を用いてその値を求めよ. 但し,  aは1でない正の実数とする.

 \displaystyle (*):\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{a}}{n(\sqrt[n]{a}-1)}

 

与えられた式の形では, 区分求積法が使えません.

 

区分求積法:

 \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x)dx

 

そこで,  a\neq 1であることを使って区分求積法の使える形に変形します.

 

 

 

 

解答例.

問題文である実数値に収束することが分かっているので,

\begin{align*}
S = \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{a}}{n(\sqrt[n]{a}-1)}
\end{align*}

とおく.  a\neq 1なので, 両辺に a-1を掛けて計算すると,

\begin{align*}
(a-1)S &= (a-1)\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{a}}{n(\sqrt[n]{a}-1)}\\
&= \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{a}(a-1)}{n(\sqrt[n]{a}-1)}\\
&= \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{a}}{n}\cdot\left(a^{\frac{n-1}{n}}+a^{\frac{n-2}{n}}+\cdots+1\right)\\
&= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\cdot\left(a+a^{\frac{n-1}{n}}+\cdots+a^{\frac{1}{n}}\right)\\
&= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} a^{\frac{k}{n}}\\
&= \int_{0}^{1} a^x dx\\
&= \left[\frac{a^x}{\log{a}}\right]_{0}^{1}\\
&= \frac{a-1}{\log{a}}
\end{align*}

よって,

\begin{align*}
S = \frac{1}{\log{a}} = \log_{a}{e}
\end{align*}

 

追記.

今回は問題文の中で収束することが分かっていたので, その値を Sとおいて,  (a-1)倍したものを計算しましたが,

\begin{align*}
\sqrt[n]{a}-1 = \frac{a-1}{a^{\frac{n-1}{n}}+a^{\frac{n-2}{n}}+\cdots+1}
\end{align*}

であることをはじめから用いて,

\begin{align*}
\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{a}}{n(\sqrt[n]{a}-1)} = \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{a}\left(a^{\frac{n-1}{n}}+a^{\frac{n-2}{n}}+\cdots+1\right)}{n(a-1)}
\end{align*}

と変形して解くこともできます.