問題．
今回は，自作問題の30番の解説です．この手の問題は方針を考えるために， に具体的な値を代入して調べてみましょう．
解答例，解説
とおいて， を調べてみます．
\begin{align*}
f(1) &= 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4+k\\ &= 24+k\\
f(2) &= 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5+k\\ &= 120+k\\
f(3) &= 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6+k\\ &= 360+k\\
\end{align*}
すると， とすると全て平方数になりそうだということが見えてきます．
( です．
は覚えている必要はないですが，
は覚えておきましょう)
そこで， のときにすべての
について平方数になることを証明していきます．
とすると，
\begin{align*}
f(n) &= n(n+1)(n+2)(n+3)+k\\
&= \{n(n+3)\}\{(n+1)(n+2)\}+k\\
&= (n^2+3n)(n^2+3n+2)+k\\
&= (n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+k\\
&= (n^2+3n+1)^2
\end{align*}
答えが
だけであることについて
さて， がともに平方数なので，
を自然数として，
\begin{align*}
24+k&= a^2\tag{1}\\
120+k &= b^2\tag{2}
\end{align*}
とおきます．
から
を引くと，
となります．
,
は偶奇が一致する(両方とも偶数か，両方とも奇数)ことに注意すると，これを満たす
の組は
\begin{align*}
(b+a, b-a) = (48, 2), (24,4), (16,6), (12,8)
\end{align*}
の4通りしかなく，それぞれについて を求めると
\begin{align*}
(a, b) = (23, 25), (10, 14), (5, 11), (2, 10)
\end{align*}
となります．式に代入して
を求めると，それぞれ
です．
は自然数なので
は不適なので，
が候補に残ります．
後は， の場合に平方数になるかを確認しましょう．
\begin{align*}
360+505 &= 865\\
&= 5\times 173\\
360+76 &= 436\\
&= 2^2\times109\\
360 + 1 &= 361\\
&= 19^2
\end{align*}
なので， では
のときに平方数になりません．
したがって，すべての について
が平方数となるのは
のときのみです．
