数学の力

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自作問題27. (中間値の定理)

自作問題

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問題.

自作問題の27番, 中間値の定理を利用する問題です.

問題.

周期 $\omega$ の連続な周期関数 $f(x)$ について, 以下の条件 $(\ast)$ を満たす実数 $p$ が存在することを示せ.

\begin{align*}
(\ast)\left\{\begin{array}{ll}
0\leqq p < \frac{\omega}{2} \\
f(p) = f(p+\frac{\omega}{2})
\end{array} \right.
\end{align*}

$f(x)$ が周期 $\omega$ の周期関数であるとは, 任意の $x$ について $f(x)=f(x+\omega)$ が成り立つことである.

中間値の定理を使います.

中間値の定理

関数 $f(x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続で, $f(a)$ と $f(b)$ の間にある数 $k$ について,

\begin{align*}
f(c) = k\quad (a < c < b)
\end{align*}

となる $c$ が存在する.

解答例.

\begin{align*}
g(x)=f(x+\frac{\omega}{2})-f(x)
\end{align*}

とおくと,

\begin{align*}
g(x+\frac{\omega}{2})&= f(x+\omega)-f(x+\frac{\omega}{2})\nonumber\\
&= f(x)-f(x+\frac{\omega}{2})\nonumber\\
&= -g(x)\tag{1}
\end{align*}

が成り立つ.

$x=0$ のとき, $g(0)=0$ であれば, $p=0$ が条件( $\ast$ )を満たす.

$g(0)\neq 0$ であれば, (1)式より $g(\frac{\omega}{2})=-g(0)$ であるから, $g(0)$ と $g(\frac{\omega}{2})$ は符号(正or負)が異なる. よって, 中間値の定理により, $0 < p < \frac{\omega}{2}$ で $g(p)=0$ を満たす $p$ が存在する.

追記.

この問題には, 元ネタとなる次のような問題があります.

Q. 地球の赤道上の温度の分布が連続であるとします. このとき, 赤道上の地点で, 地球のちょうど裏側と同じ温度の地点が存在することを示せ.

(この問題の出典が分かる方がいたら教えてください. )

赤道上の温度の分布を $f(x)$ とおくと今回の問題になります.