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三角形の五心とその性質

定義・定理・公式

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三角形の五心

三角形には, 内心, 外心, 重心, 垂心, 傍心という5種類の「中心」が存在します.

この記事では, それらの定義と性質を紹介します.

内心

定義 :

三角形の3つの頂点の二等分線は1点で交わり, その点を三角形の内心という.

内心 $\mathrm{I}$ は, 三角形の内接円(3つの辺すべてに接する円)の中心になっています.

なので， $\mathrm{I}$ から三角形の各辺に下ろした垂線の長さが等しくなります．

外心

定義 :

三角形の3辺の垂直二等分線は1点で交わり, その点を三角形の外心という.

外心 $\mathrm{O}$ は, 三角形の外接円(三角形の3つの頂点すべてを通る円)の中心になっています.

なので, 上の図では, $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$ が成り立っています.

重心

定義 :

三角形の3本の中線(頂点と向かい合った辺の中点を結ぶ線分)は1点で交わり, その点を三角形の重心という.

重心は, 重さの中心で, 三角形の板の重心を糸でぶら下げると水平に釣り合います.

三角形の重心 $\mathrm{G}$ は, 3本の中線を $2:1$ に内分することが知られています.

上の図では, $\mathrm{AG} : \mathrm{GD} = \mathrm{BG} : \mathrm{GE} = \mathrm{CG} : \mathrm{GF} = 2 : 1$ です.

垂心

定義 :

三角形の各頂点から対辺に下ろした垂線は1点で交わり, その点を三角形の垂心という.

内心, 重心, 垂心の存在は, チェバの定理の逆を用いて証明できます.

(--->チェバの定理の逆の利用例)

傍心

定義 :

三角形のある内角の2等分線と, 他の2頂点の外角の2等分線は1点で交わり, その点を三角形の傍心という. 頂点の選び方によって, 傍心は3つ存在する.

三角形 $ABC$ の3つの傍心を $\mathrm{I}, \mathrm{I}^\prime, \mathrm{I}^{\prime\prime}$ として, 内心を $\mathrm{I}_0$ とすると, $\mathrm{I}_0$ は $\triangle{\mathrm{I}\mathrm{I}^\prime \mathrm{I}^{\prime\prime}}$ の垂心となっている.

三角形の五心がもつ他の性質

1. 正三角形の場合

正三角形においては, 内心, 外心, 重心, 垂心の4つの点はすべて一致します.

また, 三角形の内心, 外心, 重心, 垂心のうち2つ以上が一致するとき, その三角形が正三角形であるといえます．この証明は中学レベルの合同を使った証明の良い練習になるかと思います．

2. 外心, 重心, 垂心の関係

三角形の形に関係なく, 外心を $\mathrm{O}$ , 重心を $\mathrm{G}$ , 垂心を $\mathrm{H}$ とすると, この3点 $\mathrm{O}, \mathrm{G}, \mathrm{H}$ は一直線上にあって, 次の式が成り立ちます.

$\mathrm{OG} : \mathrm{GH} = 1 : 2$

このとき，外心，重心，垂心を通る直線のことをオイラー線といいます．