京大2021年度理系第１問-問1(ベクトル)

問題．

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次の各問に答えよ．
問1. 空間の3点を通る平面に関して点と対称な点の座標を求めよ．ただし，点が平面に関してと対称であるとは，線分の中点が平面上にあり，直線がから平面に下ろした垂線となることである．問2. 赤玉，白玉，青玉，黄玉が１個ずつ入った袋がある．よくかきまぜた後に袋から玉を1個取り出し，その玉の色を記録してから袋に戻す．この試行を繰り返すとき，回目の試行で初めて赤玉が取り出されて4種類全ての色が記録済みとなる確率を求めよ．

 

長くなってしまうので，問1と問2は別の記事に分けて書くことにして，本記事では問1の解説をします．(問2の記事はこちら)

問1. は 平面だとよくある問題ですが，空間なのでベクトルを使って垂直という条件を処理しましょう，という問題です．ベクトルの基本がわかっていればそこまで難しくない印象です．

解答例．

問1.

①の中点が平面上にあること

②が平面に垂直であること

の２つから式を立てて解けばいいです．今回の場合，①からさきに扱うと解きやすいです．

まず，点はを通る平面上にあるので，実数を用いて

\begin{align*}
\vec{AM}=s\vec{AB}+t\vec{AC}
\end{align*}

と書けます．原点をとすると，なので，

\begin{align*}
\vec{OM} &= \vec{OA}+s\vec{AB}+t\vec{AC}\\
&= (1, 0, 0) + s(0-1, -1-0, 0-0) + t(0-1, 0-0, 2-0)\\
&= (-s-t+1, -s, 2t)
\end{align*}

次に，②の条件を考えます．

\begin{align*}
\vec{PM} &= \vec{OM} - \vec{OP}\\
&= (-s-t+1, -s, 2t) - (1, 1, 1)\\
&= (-s-t, -s-1, 2t-1).\tag{1}
\end{align*}

よりなので

\begin{align*}
(-s-t)\cdot(-1)+(-s-1)\cdot(-1)+(2t-1)\cdot0 &= 0\\
\therefore 2s+t+1 &= 0 \tag{2}
\end{align*}

同様に，

よりなので

\begin{align*}
(-s-t)\cdot(-1)+(-s-1)\cdot0+(2t-1)\cdot2 &= 0\\
\therefore s+5t-2 &= 0 \tag{3}
\end{align*}

(2), (3)を連立して解けば，.

(1)に代入して，

\begin{align*}
\vec{PM} &= \left(\frac{2}{9}, -\frac{2}{9}, \frac{1}{9}\right)
\end{align*}

したがって，

\begin{align*}
\vec{OQ} &= \vec{OP} + 2\vec{PM}\\
&= (1, 1, 1) + 2\left(\frac{2}{9}, -\frac{2}{9}, \frac{1}{9}\right)\\
&= \left(\frac{13}{9}, \frac{5}{9}, \frac{11}{9}\right)
\end{align*}

となり，点の座標は.