京大2017年度理系第3問

問題.

を自然数, を

\begin{align*}
\tan{\alpha} = \dfrac{1}{p},\quad \tan{\beta} = \dfrac{1}{q}
\end{align*}

を満たす実数とする. このとき

\begin{align*}
\tan{(\alpha+2\beta)} = 2
\end{align*}

を満たす実数 の組 をすべて求めよ.

 

文系の問題では, 同じ問題が誘導付きで出ていました.

まずは の加法定理を使って, 条件を の式に変形します.

その後の解き方はいろいろあると思います.

私は の値で場合分けしましたが, 文系の問題の誘導では の値で場合分けしていました.

一応, 自分のやり方と, 文系の誘導による解き方を載せておきます.

解答例.

なので,

\begin{align*}
\tan2\beta &= \dfrac{2\tan\beta}{1-\tan^2\beta}\\
&= \dfrac{\frac{2}{q}}{1-\frac{1}{q^2}}\\
&= \dfrac{2q}{q^2-1}
\end{align*}

\begin{align*}
\tan(\alpha+2\beta) &= \dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan2\beta}\\
&= \dfrac{\frac{1}{p}+\frac{2q}{q^2-1}}{1-\frac{1}{p}\cdot\frac{2q}{q^2-1}}\\
&= \dfrac{q^2+2pq-1}{pq^2-p-2q}
\end{align*}

よって, 条件は

\begin{align*}
& & \tan(\alpha+2\beta) = 2\\
&\Leftrightarrow& q^2+2pq-1 = 2(pq^2-p-2q)\\
&\Leftrightarrow& 2(q^2-q-1)p = q^2+4q-1
\end{align*}

(i)   のとき, 条件は となり, 整数 でこれをみたすものはない.

(ii) のとき, 条件は となり, 自然数の解 が存在する. よって, は条件を満たす.

(iii) のとき, 条件式から

\begin{align*}
q^2+4q-1 &= 2(q^2-q-1)p\\
&\geqq 6(q^2-q-1)
\end{align*}

変形して について解くと,

\begin{align*}
5q^2-10q-5\leqq 0\\
1-\sqrt{2}\leqq q\leqq1+\sqrt{2}
\end{align*}

この不等式を満たす は のみですが, に対しては条件を満たす自然数 が存在しません.

以上より, 条件を満たす組は のみになります.

次に, で場合分けしていく方法で解きます.

条件を変形して

\begin{align*}
2(q^2-q-1)p = q^2+4q-1
\end{align*}

となるところまでは同じです.

(i) のときは, 条件は より (自然数でない)ので解なしです.

(ii) のときは, 条件は より  (自然数でない)ので解なしです.

(iii) のときは, 条件は より となり, は解になります.

(iv) のとき

\begin{align*}
2\times 2(q^2-q-1) - (q^2+4q-1) &= 3q^2-8q-3\\
&= (3q+1)(q-3)\\
&> 0
\end{align*}

より,

\begin{align*}
p &= \dfrac{q^2+4q-1}{2(q^2-q-1)}\\
&< 2
\end{align*}

ところが, のときは条件は より自然数解 は存在しない.

以上より, のみになります.