解と係数の関係

この記事では，解と係数の関係とその証明について説明します．

$n$ 次方程式は重解を含めて $n$ 個の解を持ちます． $n$ 個の解と，方程式の係数が満たす関係式が解と係数の関係です．特に 2 次，3 次の場合はよく使うので覚えておきましょう．

2次方程式 $ax^2+bx+c=0\,(a\neq 0)$ の解を $\alpha, \beta$ とすると，
\begin{align*}
\left\{\begin{array}{ll}
\alpha + \beta &= -\frac{b}{a}\\
\alpha\beta &= \frac{c}{a}
\end{array}\right.
\end{align*}

証明．

2 つの解が $\alpha, \beta$ である 2 次方程式で， $x^2$ の係数が $a$ であるものは $a(x-\alpha)(x-\beta)=0$ と書け，展開すると $ax^2-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta=0$
これが $ax^2+bx+c=0$ と一致するので，係数を比較して，
\begin{align*}
\left\{\begin{array}{ll}-a(\alpha+\beta)&= b\\
a\alpha\beta&= c\end{array}\right.
\end{align*}
となり，解と係数の関係が得られます．

2．3次方程式の場合

3次方程式 $ax^3+bx^2+cx+d=0\,(a\neq 0)$ の解を $\alpha, \beta, \gamma$ とすると，
\begin{align*}
\left\{\begin{array}{ll}
\alpha + \beta + \gamma &= -\frac{b}{a}\\
\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha &= \frac{c}{a}\\
\alpha\beta\gamma &= -\frac{d}{a}
\end{array}\right.
\end{align*}

証明．

2 次の場合と同様に，解が $\alpha, \beta, \gamma$ で $x^3$ の係数が $a$ である 3 次方程式は $a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=0$ と書ける．
これを展開して， $ax^3+bx^2+cx+d=0$ と係数を比較すれば解と係数の関係が得られます．

3．一般の $n$ 次方程式の場合

$n$ 次方程式 $a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_0=0\,(a_{n}\neq 0)$ の解を $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_{n}$ とすると，
\begin{align*}
\sum_{1\leq i_1 < i_2 < \cdots < i_k\leq n} \alpha_{i_1}\alpha_{i_2}\cdots\alpha_{i_k} = (-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_{n}}\quad(k=1, 2, \ldots, n)
\end{align*}

証明．

$n$ 個の解が $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ である $n$ 次方程式で， $x^n$ の係数が $a_{n}$ であるものは $a_n(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n)=0$ と書け，展開して $a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_0=0$ と係数を比較すると
得られます．