問題．
今年の問題も全体的に解く方針が分かりやすいものが多かったように感じます．
の値の近似値に関する問題です．計算してみると5.4と5.5の間というのが意外とゆるい近似であることがわかります．
京大入試では今回の問題のように対数の値は近似値ではなく範囲で与えられることが多いので，気をつけましょう．
解説．
\begin{align*}
\log_{4}{2022} &= \frac{\log_{2}{2022}}{\log_{2}{4}}\\
&= \frac{1}{2}\log_{2}{2022}
\end{align*}
まず，右の不等号について
\begin{align*}
2022 < 2048 = 2^{11}
\end{align*}
より，
\begin{align*}
\frac{1}{2}\log_{2}{2022} &< \frac{1}{2}\log_{2}{2^{11}}\\
&= \frac{1}{2}\cdot 11\\
&= 5.5
\end{align*}
次に，左の不等号について，
より
\begin{align*}
\log_{2}{10} &= \frac{1}{\log_{10}{2}}\\
&> \frac{1}{0.3011}\\
&= 3.32\ldots\\
&>3.3
\end{align*}
なので，
\begin{align*}
\frac{1}{2}\log_{2}{2022} &> \frac{1}{2}\log_{2}{2000}\\
&= \frac{1}{2}\log_{2}{2\cdot 10^3}\\
&= \frac{1}{2}(1+3\log_{2}{10})\\
&> \frac{1}{2}(1+3\cdot 3.3)\\
&= 5.45\\
&>5.4
\end{align*}
したがって，
となる．
追記
上の解説を見るとわかりますが，(
は自然数)は
のとき
をみたします．
