数学の力

京大生が数学の定理・公式の証明や入試問題の解説をするブログ.

神大 2019 年度理科系第 4 問

問題.少し面白い問題があったので,紹介します.次のように を繰り返して並べて得られる数列を とする. すなわち,, , で,4 以上の自然数 に対し, とする.この数列の初項から第 項までの和を とする.以下の問に答えよ. (1) を求めよ. (2) となる自然…

京大 2019 年度理系第 6 問

問題. は虚数単位とする. をみたす最小の正の整数 を求めよ. (実際には常用対数表が与えられています.) 複素数なのに不等号…?と一瞬思いますが, \begin{align*} \overline{(1+i)^n} &= (\overline{1+i})^n\\ &= (1-i)^n \end{align*}と, と は共役な…

京大 2019 年度理系第 5 問(最大値)

問題.半径 1 の球面上の 5 点 は,正方形 を底面とする四角錐をなしている.この 5 点が球面上を動くとき,四角錐 の体積の最大値を求めよ. 体積を求める必要があるので,自分で変数を導入して,体積を表し最大値を求めていきます. 正四面体とは問題文に…

京大 2019 年度理系第 4 問

問題.1 つのさいころを 回続けて投げ,出た目を順に とする.このとき次の条件をみたす確率を を用いて表せ.ただし としておく.条件: をみたす のうち, かつ が成立するような の値はただ 1 つである.今年の確率の問題は,京大でよく出題される漸化式…

京大 2019 年度理系第 3 問(積分)

問題.鋭角三角形 を考え,その面積を とする. をみたす実数 に対し,線分 を に内分する点を , 線分 を に内分する点を とする.実数 がこの範囲を動くときに点 の描く曲線と,線分 によって囲まれる部分の面積を, を用いて表せ.この問題では, の辺の長…

京大 2019 年度理系第 2 問

問題. とする. と がともに素数となる整数 をすべて求めよ.問題としては目新しくはない気がします. 京大 2016 年度の問題 同様に, が素数にならないような を見つけて除外していくことになります. 解答例. が偶数のときについて考える. , (は整数) …

京大 2019 年度理系第 1 問 (積分など)

問題.次の各問に答えよ. 問1. とする. は有理数ではないが, と がともに有理数となるような の値を求めよ.ただし, が素数のとき, が有理数でないことは証明なしに用いてよい. 問2.次の定積分の値を求めよ. (1) (2) 問1.は の 2 倍角,3 倍角…

二項係数と組み合わせ問題

二項係数と組み合わせ問題二項係数に関するいろいろな公式があります.これらは数式として証明できるだけでなく,組み合わせの数え上げ問題として解釈することができます.今回は,その例をいくつか紹介します.二項係数: \begin{align*} {}_nC_k = \dfrac{…

二項係数(コンビネーション)の性質まとめ

二項係数の性質まとめ.定義二項係数は や の記号で書かれ,次の式で定義されます.\begin{align*} {}_nC_k = \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} \end{align*}二項係数に関する重要事項.1. (組み合わせ) 個の中から 個を選ぶ方法は 通り. 2. (二項定理)…

対角線に垂線を下ろして分割すると...

2 次元のとき次のような問題を考えてみます.問題. である長方形 を考える. 頂点 から対角線 に下ろした垂線の足を とする. の比はどうなるか. これは三角形の相似がわかれば簡単に求められます. が互いに相似なので, \begin{align*} BH:HA = BA:AD = …

2変数の数学的帰納法(自作問題31)

問題.今回は,自作問題の31番,2 変数の絡んだ数学的帰納法の問題です.問題. 任意の非負整数 について, を で割った余りが 1 であることを示せ.この問題はもともと,2 変数の入った問題ではなく, の部分に具体的な数値の入った次のような問題でした.…

軌跡(自作問題8)

問題.今回は,自作問題の8番,軌跡の問題です.問題. 楕円 に対し, の外部の点 を通る 2 本の接線が直交するような点 の軌跡を求めよ. この結果は有名なので,知っているかもしれません. の部分に具体的な数字が入っている場合は入試問題でも出題された…

2012年阪大理系第4問と拡張

問題.5 次式 (は実数) について考える.このとき,以下の問いに答えよ.(1) 数列 が等差数列であることと, \begin{align*} f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+lx+m \end{align*}(は実数) と書けることは互いに同値であることを示せ.(2) は (1) の条件を満たすも…

ディオファントスの墓碑銘

ディオファントスって?ディオファントスという数学者をご存知でしょうか? ディオファントスは古代エジプトの数学者です.彼の著書である『算術 (Arithmetica)』は,後にフェルマーがフェルマーの最終定理として知られる書き込みを余白に書き残したことでも…

京大2009年度理系[甲]第5問〜ルジャンドルの公式〜

問題. を素数, を正の整数とするとき, は で何回割り切れるか. 方針. が素数なので, を が割り切る回数は, を が割り切る回数を足し合わせればいいことがわかります. 解答例.普通に解いてみると を が割り切る回数をどのように数え上げるかが問題で…

2013年度東北大理系第1問

問題. を実数とする.3次式 に対し,方程式 の 3 つの解を とする. は の係数が 1 である 3 次式で,方程式 の 3 つの解が であるものとする. (1) を を用いて表せ. (2) 2 つの方程式 と が共通の解をもつような の値を求めよ. 方針.(1) は 3 次方程式…

中線定理を拡張してみた

中線定理を拡張してみた平面図形における中線定理の拡張を考えてみました. まず,中線定理の復習からしておきます.中線定理. において,辺 の中点を とするとき\begin{align*} \mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2 = 2(\mathrm{AM}^2+\mathrm{BM}^2). \end{align…

Cayleyの定理 (全域木の総数)1. (次数列による方法)

Cayley の定理この記事では,グラフの全域木の個数に関する Cayley の定理を紹介します.定理 (Cayley)任意の自然数 に対して,頂点数が である完全グラフ の全域木の総数は\begin{align*} T(K_n) = n^{n-2} \end{align*}一般のグラフ の全域木の総数を の記…

2平方定理

2平方定理この定理はフェルマーの2平方定理とも呼ばれることがあり,証明はオイラーによってはじめてなされたとされています.定理.奇素数(奇数かつ素数,すなわち 3 以上の素数) が 4 で割ると 1 余るとき, は 2 つの平方数の和として表される. 例えば,…

素数に関するオイラーの定理

素数に関するオイラーの定理ここでは,(フェルマーの) 2平方定理の証明で用いる素数に関するオイラーの定理の証明をします. 2平方定理奇素数(奇数かつ素数,すなわち 3 以上の素数) が 4 で割ると 1 余るとき, は 2 つの平方数の和として表される.2平方定…

等差数列,等比数列,調和数列

数列とは数列とは,文字通り数を列のように並べたものです.例えば,やという感じです.並べる数は整数に限りません. ある数列があるときに,そこに並んでいる数を項(特に,左端から 番目の項を第 項,第1項のことを初項)といい,任意の について第 項が の…

2008年度東大理系第5問

問題.自然数 に対し, を で表す. たとえば, である. (1) を 0 以上の整数とする. は で割り切れるが, では割り切れないことを示せ. (2) が 27 で割り切れることが, が 27 で割り切れるための必要十分条件であることを示せ. 方針.(1) について は 1 が 個並ん…

自作問題15 (数学的帰納法)

問題.自作問題の 15 番です. 数学的帰納法に分類していますが, この分類でいいのか怪しいです...問題. , は自然数, とする.任意の自然数 に対して,を満たすような自然数 が存在することを示せ. 例えば, でのとき,\begin{align*} a_2 &= 5+2\sqrt{6}\\ &= \sq…

徳島大学2005年度 (相加相乗平均の不等式の別証明)

相加相乗平均の別証明今回は, 2005年度に徳島大学で出題された, 相加相乗平均の不等式の証明を紹介します.問題. は自然数とする.(1) を正の実数とし, 関数を考える. のとき が成り立つことを示せ.(2) とする. 次の不等式が成り立つことを数学的帰納法によっ…

整数辺をもつ60°, 120°三角形

整数辺をもつ60°, 120°三角形前回の記事で「整数辺をもつ直角三角形」という記事を書きましたが, 今回は辺の長さが整数で, 60°や120°の内角をもつような三角形について考察していきます. 辺の長さが整数で, 60°や120°の内角をもつような三角形を知っているで…

整数辺をもつ直角三角形

整数辺をもつ直角三角形直角三角形で, 3つの辺の長さがすべて整数であるようなものというといくつぐらい思いつくでしょうか? ただし, 3つの辺の長さが互いに素となるものを考えます.(3, 4, 5)(5, 12, 13)(8, 15, 17)くらいはよく知られていると思います. 実…

プロジェクトオイラー30. ~ Digit fifth powers ~

No.30 Digit fifth powers問題.驚いたことに, 自身の各桁の数字の 4 乗和として書ける数は 3 つしかない:\begin{align*} 1634 &= 1^4+6^4+3^4+4^4\\ 8208 &= 8^4+2^4+0^4+8^4\\ 9474 &= 9^4+4^4+7^4+4^4 \end{align*}ここで, は含めていない.これらの数の和…

神大2017年度理科系 第5問

問題. とする. 以下の問に答えよ.(1) 正の数 で\begin{align*} \int_0^a f(t)\,dt = a \end{align*}を満たすものがただ 1 つ存在することを示せ.(2) (1)の に対し, を満たす をとる. において\begin{align*} 0\leqq\int_0^a f(t)\,dt-\int_0^{x} f(t)\,dt\le…

神大2017年度理科系 第3問

問題. を自然数とする. , とおく. を 3 で割った余りを とし, を 4 で割った余りを とする. 以下の問に答えよ.(1) は 3 で割り切れることを示せ.(2) かつ を満たす の個数を求めよ.(3) かつ を満たす の個数を求めよ. 自然数の割った余りに関する問題です.(1…

神大2017年度理科系 第2問

問題. とおく. 以下の問に答えよ.(1) ならば であることを示せ. また を求めよ.(2) 関数 の逆関数を とおく.\begin{align*} \int_1^{\frac{3\sqrt{3}}{2}} g(x)\,dx \end{align*} を求めよ. (1) は関数の単調増加性を示すだけなので, 微分すればOKです.(2) …