東大2020年度理系第4問
問題.
から異なる個を選んでそれらの積をとる.個の整数の選び方すべてに対しこのように積をとることにより得られる個の整数の和をと置く.例えば,
である.
(1) 2以上の整数に対し,を求めよ.
(2) 1以上の整数に対し,についての整式
を考える.とをについての整式として表せ.
(3) をで表せ.
解答例.
(1)を2乗すると,
ここで,
\begin{align*}
a_{n, 1}&= \sum_{i=0}^{n-1}2^i\\
&= 2^n-1
\end{align*}
また,
\begin{align*}
\sum_{i=0}^{n-1} (2^i)^2 &= \sum_{i=0}^{n-1} 4^i\\
\frac{1}{3}(4^n-1)
\end{align*}
なので,
\begin{align*}
a_{n, 2} &= \frac{1}{2}\left\{(2^n-1)^2-\frac{1}{3}(4^n-1)\right\}\\
&= \frac{1}{3}(4^n-3\cdot 2^n+2)\\
&= \frac{1}{3}(2^n-1)(2^n-2).
\end{align*}
(2) はから異なる個を選んで積をとったものの和なので,
と書ける.よって,
\begin{align*}
\frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)} &= \frac{(1+x)(1+2x)\cdots(1+2^{n-1}x)(1+2^nx)}{(1+x)(1+2x)\cdots(1+2^{n-1}x)}\\
&= 1+2^nx\\
\frac{f_{n+1}(x)}{f_n(2x)} &= \frac{(1+x)(1+2x)\cdots(1+2^{n-1}x)(1+2^nx)}{(1+2x)(1+4x)\cdots(1+2^nx)}\\
&= 1+x.
\end{align*}
(3) (2)より,
ここに,を代入して係数を比較する.
\begin{align*}
(1+2^nx)f_n(x) &= 1+(2^n+a_{n,1})x+(2^na_{n,1}+a_{n,2})x^2+\cdots\\
&\quad\quad\quad\quad+(2^na_{n, n-1}+a_{n,n})x^n+2^na_{n,n}x^{n+1}
\end{align*}
また,なので,
\begin{align*}
(1+x)f_n(2x) &= 1+(1+2a_{n,1})x+(2a_{n,1}+2^2a_{n,2})x^2+\cdots\\
&\quad\quad\quad\quad+(2^{n-1}a_{n,n-1}+2^na_{n,n})x^n+2^na_{n,n}x^{n+1}
\end{align*}
よって,とおいて,
が成り立つ.
より
となり,()式に代入すると,
よって,