今回は重複組合せを利用する有名な問題を紹介します．
まずは，5乗ではなく2乗の場合を，実際に式を展開して計算してみます．
公式として覚えているかもしれませんが，ここでは分配法則を使って展開すると，
\begin{align*}
(x+y+z)^2 &= (x+y+z)(x+y+z)\\
&= x^2+xy+xz+xy+y^2+yz+xz+yz+z^2\\
&= x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx
\end{align*}
となるので，この場合項の数は6個になります．
2乗なので実際に計算しましたが，5乗になると計算するのは大変です．
そこで，うまく重複組合せの考え方にもっていきます．
考え方．
2乗のときの展開式を見て，気づくことはないでしょうか？現れた6つの項はすべて次数が2になっています．これは，を展開するときに，それぞれの
から
のいずれか1つを選んで掛け算しているからです．
\begin{align*}
\underbrace{(x+y+z)}_{1つ選ぶ}\underbrace{(x+y+z)}_{1つ選ぶ}
\end{align*}
つまり，を展開，整理して現れる項は，
\begin{align*}
x^iy^jz^k\quad (i+j+k=2,i,j,k\geqq0)
\end{align*}
という形をしています．
よって，現れる項の数は
\begin{align*}
i+j+k=2, i,j,k\geqq0
\end{align*}
を満たす整数の組の個数と同じになります．これは重複組合せVol.1で扱った問題なので，重複組合せを使って解くことができます．
\begin{align*}
{}_3H_2 &= {}_4C_2\\
&= 6
\end{align*}
となり，上で実際に展開したものと同じ答えになりました．
5乗の場合も同じように考えると，
\begin{align*}
{}_3H_5 &= {}_7C_5\\
&= 21
\end{align*}
となり，項の数は21個です．
一般の場合も
{}_nH_m
\end{align*}
