神大2017年度理科系第2問

問題.

$f(x) = \dfrac{2e^{3x}}{e^{2x}+1}$ とおく. 以下の問に答えよ.

(1) $a < b$ ならば $f(a) < f(b)$ であることを示せ. また $f\left(\log{\sqrt{3}}\right)$ を求めよ.

(2) 関数 $f(x)$ の逆関数を $g(x)$ とおく.

\begin{align*}
\int_1^{\frac{3\sqrt{3}}{2}} g(x)\,dx
\end{align*}
を求めよ．

(1) は関数の単調増加性を示すだけなので, 微分すればOKです.

(2) は逆関数の定積分ですが, グラフを考えるとわかりやすいかもしれません.

解答例.

(1) $f(x)=\dfrac{2e^{3x}}{e^{2x}+1}$ を $x$ で微分して,

\begin{align*}
f^\prime(x) &= \dfrac{6e^{3x}(e^{2x}+1)-2e^{3x}\cdot 2e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2}\\
&= \dfrac{2e^{3x}(e^{2x}+3)}{(e^{2x}+1)^2}\\
&> 0
\end{align*}

より, $f(x)$ は単調増加なので, $a < b$ のとき $f(a) < f(b)$ となります.

また,

\begin{align*}
f\left(\log{\sqrt{3}}\right) &= \dfrac{2(\sqrt{3})^3}{(\sqrt{3})^2+1}\\
&= \dfrac{3\sqrt{3}}{2}.
\end{align*}

(2) (1) より, $f(x)$ は単調増加なので逆関数 $g(x)$ が存在します.

部分積分を用いると,

$\begin{align*} \int_1^{\frac{3\sqrt{3}}{2}} g(x)\,dx &= \int_1^{\frac{3\sqrt{3}}{2}} (x)^\prime g(x)\,dx\\ &= \Big[xg(x)\Big]_1^{\frac{3\sqrt{3}}{2}}-\int_1^{\frac{3\sqrt{3}}{2}} xg^\prime(x)\,dx \end{align*}$

第 1 項について, (1) で計算した $f\left(\log{\sqrt{3}}\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ と, $f(0)=1$ から,

$g(3\sqrt{3}/2)=\log{\sqrt{3}}, g(1)=0$ なので,

$\begin{align*} \Big[xg(x)\Big]_1^{\frac{3\sqrt{3}}{2}} &= \frac{3\sqrt{3}}{2}\log{\sqrt{3}}. \end{align*}$

第 2 項について, $x=f(y)=g^{-1}(y)$ , つまり $y=g(x)$ で置換すると,

$dy = g^\prime(x)\,dx$ なので,

$\begin{align*} \int_1^{\frac{3\sqrt{3}}{2}} xg^\prime(x)\,dx &= \int_0^{\log{\sqrt{3}}} f(y)g^\prime(x)\cdot\dfrac{1}{g^\prime(x)}\,dy\\ &= \int_0^{\log{\sqrt{3}}} f(y)\,dy\\ &= \int_0^{\log{\sqrt{3}}} \dfrac{2e^{3x}}{e^{2x}+1}\,dy\\ &= \int_0^{\log{\sqrt{3}}} \left(2e^y-\dfrac{2e^y}{e^{2y}+1}\right)\,dy \end{align*}$

と計算でき, この右辺の第1項は

$\begin{align*} \int_0^{\log{\sqrt{3}}} 2e^{y}\,dy &= \Big[2e^y\Big]_0^{\log{\sqrt{3}}}\\ &= 2\left(\sqrt{3}-1\right) \end{align*}$

第2項は, $e^y=\tan\theta$ と置換すると, $e^y\,dy = d\theta/\cos^2\theta$ なので,

$\begin{align*} \int_0^{\log{\sqrt{3}}} \dfrac{2e^y}{e^{2y}+1}\,dy &= \int_{\pi/4}^{\pi/3} \dfrac{2}{\tan^2\theta+1}\cdot\dfrac{1}{\cos^2\theta}\,d\theta\\ &= \int_{\pi/4}^{\pi/3} 2\,d\theta\\ &= 2\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right)\\ &= \dfrac{\pi}{6}. \end{align*}$

以上をまとめると,

$\begin{align*} \int_1^{\frac{3\sqrt{3}}{2}} g(x)\,dx &= \frac{3\sqrt{3}}{2}\log{\sqrt{3}} - \left\{2\left(\sqrt{3}-1\right)-\dfrac{\pi}{6}\right\}\\ &= \frac{3\sqrt{3}}{2}\log{\sqrt{3}} -2\sqrt{3}+2+\dfrac{\pi}{6}. \end{align*}$