京大2013年度理系第4問(関数の最大値)

問題.

$\displaystyle-\frac{\pi}{2}\leqq x\leqq\frac{\pi}{2}$ における $\cos{x}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}x^2$ の最大値を求めよ. ただし $\pi>3.1$ および $\sqrt{3}>1.7$ が成り立つことは証明なしに用いてよい.

問題文を読むと, 微分して増減表を用いて最大値を求めるシンプルな問題に見えます. しかし, $f(x)=\cos{x}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}x^2$ とおくと, $f^\prime(x)=0$ となる $x$ を求めることができないようになっています.

$f^{\prime\prime}(x)$ を計算して $f^\prime(x)$ の概形を調べることで $f^\prime(x)=0$ となる $x$ の存在を確認できます.

解答.

まず, $f(x) = \cos{x}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}x^2$ とおくと,

\begin{align*}
f(-x) &= \cos(-x)+\dfrac{\sqrt{3}}{4}(-x)^2\\
&= \cos{x}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}x^2\\
&= f(x)
\end{align*}

より $f(x)$ は偶関数なので, $0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ の範囲で考えます.

$f(x)$ を微分すると,

$f^\prime(x)=-\sin{x}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}x.$

このままでは $f^\prime(x)=0$ となる $x$ の値は分からないので, $f^{\prime\prime}(x)$ を計算して $f^\prime(x)$ の概形を調べてみます.

$f^{\prime\prime}(x) = -\cos{x}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

なので, $f^{\prime\prime}(x)=0$ とすると $\cos{x}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ で $0\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2}$ より, $x=\dfrac{\pi}{6}$ となります.

$f^\prime(x)$ の増減表を書くと, 次のようになります.

$\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|}\hline x & 0 & \cdots & \frac{\pi}{6} & \cdots & \frac{\pi}{2}\\ \hline f^{\prime\prime}(x) & & - & 0 & + & \frac{\sqrt{3}}{2}\\ \hline f^\prime(x) & 0 & \searrow & & \nearrow &-1+\frac{\sqrt{3}}{4}\pi \\\hline \end{array}$

$f^\prime(0)=0$ なので, $f\prime\left(\dfrac{\pi}{6}\right)<0$ で,

\begin{align*}
f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) &= -1 + \frac{\sqrt{3}}{4}\pi\\
&> -1+\frac{1.7}{4}\cdot 3.1\\
&= -1+\frac{5.27}{4}\\
&> 0
\end{align*}

であり, $\dfrac{\pi}{6}\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2}$ の範囲で $f^\prime(x)$ は単調増加であるから, $f^\prime(x)=0$ かつ $\dfrac{\pi}{6} < x < \dfrac{\pi}{2}$ を満たすような $x$ がただ1つ存在します.

そのような $x$ を $x=\alpha$ とおくと, $0\leqq x\leqq \alpha$ で $f^\prime(x)\leqq 0$ , $\alpha\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2}$ で $f^\prime(x)\geqq 0$ なので, $f(x)$ の増減表は次のようになります.

$\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|}\hline x & 0 & \cdots & \alpha & \cdots & \frac{\pi}{2}\\ \hline f^\prime(x) & 0 & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & & \searrow & & \nearrow & 1 \\\hline \end{array}$

$x=0, \dfrac{\pi}{2}$ が $f(x)$ を最大化する点の候補になっていて,

\begin{align*}
f(0) &= 1\\
f\left(\frac{\pi}{2}\right) &= \frac{\sqrt{3}}{16}\pi^2\\
&> \frac{1.7}{16}\cdot 3.1^2\\
&= \frac{16.337}{16}\\
&> 1
\end{align*}

より, $f\left(\frac{\pi}{2}\right) > f(0)$ なので, 最大値は $\dfrac{\sqrt{3}}{16}\pi^2$ .

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