神大2017年度理科系第3問

問題.

$n$ を自然数とする. $A_n=2^n+n^2$ , $B_n=3^n+n^3$ とおく. $A_n$ を 3 で割った余りを $a_n$ とし, $B_n$ を 4 で割った余りを $b_n$ とする. 以下の問に答えよ.

(1) $A_{n+6}-A_n$ は 3 で割り切れることを示せ.

(2) $1\leqq n\leqq 2018$ かつ $a_n=1$ を満たす $n$ の個数を求めよ.

(3) $1\leqq n\leqq 2018$ かつ $b_n=2$ を満たす $n$ の個数を求めよ.

自然数の割った余りに関する問題です.

(1), (2) の問題の流れを参考にして (3) を解きます.

解答例.

(1) 実際に $A_{n+6}-A_n$ を計算します.

\begin{align*}
A_{n+6}-A_n &= \{2^{n+6}+(n+6)^2\}-\{2^n+n^2\}\\
&= 2^n(2^6-1)+12n+36\\
&= 3\{2^n\times 21+4n+12\}
\end{align*}

$2^n\times 21+4n+12$ は自然数なので, $A_{n+6}-A_n$ は 3 で割り切れる.

(2) (1) の結果から, すべての自然数 $n$ に対して, $a_n=a_{n+6}$ であることがわかる.

$n=1, 2, 3, 4, 5, 6$ の場合を実際に計算すると,

\begin{align*}
A_1 &= 2^1+1^2 = 3\\
A_2 &= 2^2+2^2 = 8\\
A_3 &= 2^3+3^2 = 17\\
A_4 &= 2^4+4^2 = 32\\
A_5 &= 2^5+5^2 = 57\\
A_6 &= 2^6+6^2 = 100
\end{align*}

より,

\begin{align*}
a_1 &= 0\\
a_2 &= 2\\
a_3 &= 2\\
a_4 &= 2\\
a_5 &= 0\\
a_6 &= 1
\end{align*}

よって, $a_n=1$ となるのは $n$ が 6 で割り切れるとき. そのような 2018 以下の自然数 $n$ は , $2018=6\times 336+2$ より, 336個.

(3) (1), (2)を参考にして解きます.

\begin{align*}
B_{n+4}-B_n &= \{3^{n+4}+(n+4)^3\} - \{3^n+n^3\}\\
&= 3^n(3^4-1)+12n^2+48n+64\\
&= 4\{3^n\times 20+3n^2+12n+16\}
\end{align*}

$3^n\times 20+3n^2+12n+16$ は自然数なので, $B_{n+4}-B_n$ は 4 で割り切れる.

つまり, すべての自然数 $n$ に対して, $b_n=b_{n+4}$ .

$n=1, 2, 3, 4$ の場合を実際に計算すると,

\begin{align*}
B_1 &= 3^1+1^3 &= 4\\
B_2 &= 3^2+2^3 &= 17\\
B_3 &= 3^3+3^3 &= 54\\
B_4 &= 3^4+4^3 &= 145
\end{align*}

より,

\begin{align*}
b_1 &= 0\\
b_2 &= 1\\
b_3 &= 2\\
b_4 &= 1
\end{align*}

よって, $b_n=2$ となるのは, $n$ を 4 で割って 3 余るとき.

2018 以下の自然数で 4 で割って 3 余るのは, $3, 7, \ldots, 2015$ で, 個数は $(2015-3)/4+1=504$ 個.

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解答例.