2013年度東北大理系第1問

問題.

$k$ を実数とする．3次式 $f(x)=x^3-kx^2-1$ に対し，方程式 $f(x)=0$ の 3 つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とする． $g(x)$ は $x^3$ の係数が 1 である 3 次式で，方程式 $g(x)=0$ の 3 つの解が $\alpha\beta, \beta\gamma, \gamma\alpha$ であるものとする．
(1) $g(x)$ を $k$ を用いて表せ．
(2) 2 つの方程式 $f(x)=0$ と $g(x)=0$ が共通の解をもつような $k$ の値を求めよ．

方針．

(1) は 3 次方程式の解と係数の関係を使えばすぐに解ける．
(2) については，2 つの方程式の解が $\alpha, \beta, \gamma$ を使って表されているので，どの 2 つが共通かで場合分けして調べていく．

解答例．

(1) $f(x)=0$ について解と係数の関係より，
\begin{align*}
\left\{\begin{array}{ll}
\alpha+\beta+\gamma &= k\\
\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha &= 0\\
\alpha\beta\gamma &= 1
\end{array}\right.\tag{$\ast$}
\end{align*}

すると， $g(x)=0$ は解が $\alpha\beta, \beta\gamma, \gamma\alpha$ で $x^3$ の係数が 1 なので，
\begin{align}
g(x) &= (x-\alpha\beta)(x-\beta\gamma)(x-\gamma\alpha)\\
&= x^3-(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x^2+\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma)x-(\alpha\beta\gamma)^2\\
&= x^3+kx-1.
\end{align}

(2) 共通な解を $\alpha$ であるとする．

$\alpha=\beta\gamma$ の場合と， $\alpha=\alpha\beta$ の場合について調べれば良い．( $\alpha=\gamma\alpha$ の場合は， $\beta$ と $\gamma$ を入れ替えることで 2 つ目の場合とおなじになるため)

(i) $\alpha=\beta\gamma$ のとき
$\alpha\beta\gamma=1$ に代入すると， $\alpha^2=1$ となり， $\alpha=\pm 1$ .

$f(x)=0$ の解なので，代入することで
$\alpha=1$ のとき $k = 0$ , $\alpha=-1$ のとき $k=-2$ となる．

(ii) $\alpha=\alpha\beta$ のとき
$\alpha\beta\gamma=1\neq 0$ より $\alpha\neq0$ であるから，両辺を $\alpha$ で割ることで
$\beta=1$ . すると，(1)の( $\ast$ ) は，
\begin{align*}
\left\{\begin{array}{ll}
\alpha+1+\gamma &= k\\
\alpha+\gamma+\alpha\gamma &= 0\\
\alpha\gamma &= 1
\end{array}\right.
\end{align*}
となり， $k=0$ .

逆に， $k=0$ のとき， $f(x)=g(x)=x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ となり， $f(x)=0, g(x)=0$ は 3 つの共通な解をもつ．
また， $k=-2$ のとき， $f(x)=x^3+2x^2-1=(x+1)(x^2+x-1)$ , $g(x)=x^3-2x-1=(x+1)(x^2-x-1)$ となり， $f(x)=0, g(x)=0$ は共通の解 $x=-1$ をもつ．

以上より， $k=0, -2$ .

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2013年度東北大理系第1問

問題.

方針．

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