2行2列 正方行列の n 乗
高校の学習範囲から行列は今はなくなりましたが, 行列のそこで, 今回は一般の 2×2 行列
\begin{align}
A=\left(\begin{array}{ll}
a & b\\
c & d
\end{array}\right)
\end{align}
の 乗がどのように書けるかと, その導出法の一つを紹介します. (導出法については別の記事でいろいろな方法を1つずつ紹介します).
まずは結果から...
2 次方程式
が
[1] 重解 をもつとき
( かつ
についてはこの式は成り立つとは限らない)
[2] 異なる 2 解 をもつとき
今回の記事では，ケーリー・ハミルトンの定理を使って次数を下げていく方法を紹介します．
証明 1.
行列ここで， は 2行2列の単位行列とします．
これを繰り返し用いることで の次数を下げて，
\begin{align}
A^n = P(n)A+Q(n)E
\end{align}
( は係数で，実数)．
と書くことができます．
そこで， についての漸化式を求めて解くことで
を求めていきます．
\begin{align}
A^{n+1} &= A^n\cdot A\\
&= \{P(n)A+Q(n)E\}A\\
&= P(n)A^2+Q(n)A\\
&= P(n)\{(\mathrm{tr}A)A-(\mathrm{det}A)E\}+Q(n)E\\
&= \{(\mathrm{tr}A)P(n)+Q(n)\}A-(\mathrm{det}A)P(n)E
\end{align}
なので，
\begin{align}
P(n+1) &= (\mathrm{tr}A)P(n)+Q(n)\\
Q(n+1) &= -(\mathrm{det}A)P(n)
\end{align}
これらから および
だけの漸化式を求めると, それぞれ
\begin{align}
P(n+2)&= (\mathrm{tr}A)P(n+1)+(\mathrm{det}A)P(n)\\
Q(n+2)&= (\mathrm{tr}A)Q(n+1)+(\mathrm{det}A)Q(n)
\end{align}
となります.
また， の初期条件は
\begin{align}
P(1) = 1,&\quad P(2)=\mathrm{tr}A\\
Q(1)=1,&\quad Q(2)=-\mathrm{det}A
\end{align}
なので，以前の記事 (隣接3項間の漸化式の一般項) の結果を用いると，
2次方程式 の解に関して場合分けできます．
[1] 重解 をもつとき
(重解 の場合は
となります).
漸化式を解くと，
\begin{align}
P(n) &= \alpha^{n-2}\{(\mathrm{tr}A-\alpha)n+(2\alpha-\mathrm{tr}A)\}\\
Q(n) &= \alpha^{n-2}\{(-\mathrm{det}A)n+(\mathrm{det}A)\}\\
&= (1-n)(\mathrm{det}A)\alpha^{n-2}
\end{align}
また, 解と係数の関係より
\begin{align}
\left\{\begin{array}{l}2\alpha = \mathrm{tr}\\ \alpha^2=\mathrm{det}A\end{array}\right.
\end{align}
が成り立つので,
\begin{align}
P(n) &= \alpha^{n-1}n\\
Q(n) &= (1-n)\alpha^n
\end{align}
となり,
\begin{align}
A^n = \alpha^{n-1}nA+(1-n)\alpha^nE
\end{align}
[2] 異なる 2 解 をもつとき,
漸化式を解くと
\begin{align}
P(n) &= \frac{1}{\alpha-\beta}\{(\mathrm{tr}A-\beta)\alpha^{n-1}-(\mathrm{tr}A-\alpha)\beta^{n-1}\}\\
Q(n) &= \frac{1}{\alpha-\beta}\{(-\mathrm{det}A)\alpha^{n-1}-(-\mathrm{det}A)\beta^{n-1}\}\\
&= -(\mathrm{det}A)\cdot\frac{\alpha^{n-1}-\beta^{n-1}}{\alpha-\beta}
\end{align}
解と係数の関係から,
\begin{align}
\alpha+\beta &= \mathrm{tr}A\\
\alpha\beta &= \mathrm{det}A
\end{align}
であることを用いると,
\begin{align}
P(n) &= \frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}\\
Q(n) &= -\frac{\alpha\beta(\alpha^{n-1}-\beta^{n-1})}{\alpha-\beta}
\end{align}
となり,
\begin{align}
A^n = \frac{1}{\alpha-\beta}\{(\alpha^n-\beta^n)A-(\alpha^n\beta-\alpha\beta^n)E\}
\end{align}
