2行2列 正方行列の n 乗
前の記事 『2×2 正方行列の n 乗-Vol.1』の続きとして,2行2列の行列
の 乗の導出法(2つ目)を紹介します.
まずは結果から
前回書いた通りですが, もう一度書いておきます.
2 次方程式
について
[1] 重解 をもつとき
\begin{align*}
A^n = \left(\begin{array}{cc}(na-n\alpha+\alpha)\alpha^{n-1} & nb\alpha^{n-1}\\ nc\alpha^{n-1} & (nd-n\alpha+\alpha)\alpha^{n-1}\end{array}\right)
\end{align*}
( かつ
については成り立つとは限らない)
[2] 異なる 2 解 をもつとき
\begin{align*}
A^n = \frac{1}{\alpha-\beta}\left(\begin{array}{cc}(a-\beta)\alpha^{n-1}-(a-\alpha)\beta^{n-1} & b\alpha^n-b\beta^n\\ c\alpha^n-c\beta^n & (d-\beta)\alpha^{n-1}-(d-\alpha)\beta^{n-1}\end{array}\right)
\end{align*}
証明 2.
ここでもケーリー・ハミルトンの定理を使います.\begin{align*}
A^2 - (\mathrm{tr}A)A + (\mathrm{det}A)E = O
\end{align*}
ここで, は単位行列,
は零行列です.
いきなり場合分けしていきます.
2 次方程式 の解について,
[1] 重解 をもつとき
解と係数の関係から,
\begin{align*}
\left\{\begin{array} 2\alpha = \mathrm{tr}A\\
\alpha^2 = \mathrm{det}A \end{array}\right.
\end{align*}
なので, ケーリー・ハミルトンの定理は次のように書けます.
\begin{align*}
A^2-2\alpha A+\alpha^2E=0
\end{align*}
移項すると
\begin{align*}
A^2-\alpha A &= \alpha A-\alpha^2E\\
\therefore A(A-\alpha E) &= \alpha(A-\alpha E)
\end{align*}
これを利用すると,
\begin{align*}
A^n(A-\alpha E) &= A^{n-1}\cdot A(A-\alpha E)\\
&= A^{n-1}\cdot \alpha(A-\alpha E)\\
&= \alpha A^{n-1}(A-\alpha E)\\
&= \alpha^2 A^{n-2}(A-\alpha E)\\
&= \vdots\\
&= \alpha^n(A-\alpha E)
\end{align*}
\begin{align*}
A^{n+1}-\alpha A^n = \alpha^n A-\alpha^{n+1}A
\end{align*}
両辺を で割って, 添え字を
から
に書き換えて,
\begin{align*}
\frac{A^{k+1}}{\alpha^{k+1}}-\frac{A^k}{\alpha^k} &= \frac{A}{\alpha}-E
\end{align*}
について両辺それぞれ和をとると,
\begin{align*}
\frac{A^n}{\alpha^n}-\frac{A}{\alpha}=(n-1)\left(\frac{A}{\alpha}-E\right)
\end{align*}
両辺に を掛けて, 移項すると
\begin{align*}
A^n = n\alpha^{n-1}A-(n-1)\alpha^nE
\end{align*}
[2] 異なる 2 つの解 をもつとき
解と係数の関係から,
\begin{align*}
\left\{\begin{array} {c}\alpha+\beta = \mathrm{tr}A\\ \alpha\beta = \mathrm{det}A\end{array}\right.
\end{align*}
ケーリー・ハミルトンの定理は,
\begin{align*}
A^2-(\alpha+\beta)A+\alpha\beta E=O
\end{align*}
と書け, 一部を移項して,
\begin{align*}
A^2-\alpha A &= \beta A-\alpha\beta E\\
A(A-\alpha E) &= \beta(A-\alpha E)
\end{align*}
ここで,
\begin{align*}
A^n(A-\alpha E) &= A^{n-1}\cdot A(A-\alpha E)\\
&= A^{n-1}\cdot \beta(A-\alpha E)\\
&= \beta A^{n-1}(A-\alpha E)\\
&= \beta^2A^{n-2}(A-\alpha E)\\
&= \vdots\\
&= \beta^n(A-\alpha E)
\end{align*}
\begin{align*}
\therefore A^{n+1}-\alpha A^n = \beta^n A-\alpha\beta^nE
\end{align*}
同様に, と
を入れ替えた式も成り立ち,
\begin{align*}
\therefore A^{n+1} - \beta A^n = \alpha^n A - \alpha^n\beta E
\end{align*}
上の式と辺々引くことで,
\begin{align*}
\,-(\alpha-\beta)A^n &= (\beta^n-\alpha^n)A - (\alpha\beta^n-\alpha^n\beta)E\\
\therefore A^n &= \frac{1}{\alpha-\beta}\{(\alpha^n-\beta^n)A-(\alpha^n\beta-\alpha\beta^n)E\}
\end{align*}
