ラグランジュの四平方定理

ラグランジュ(Lagrange) の四平方定理

以前，三平方の定理の拡張である四平方の定理を紹介しました．(-->四平方定理)

ラグランジュの四平方定理は，定理の名前は同じですが，全く違う内容の定理です．

定理. 全ての自然数は，高々 4 個の平方数の和で表される．つまり, 任意の自然数 $n$ に対して,

\begin{align*}
n = x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2
\end{align*}

を満たす整数 $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ の組が存在する．

"高々" 4 個の平方数の和なので，2 個, 3 個の平方数の和でもいいですし，それ自身が平方数でも構わないです．4 個よりも少ない平方数の和で表せる場合は， $0^2=0$ を加えれば，4 つの平方の和の形にできます．

例を見てみましょう.

\begin{align*}
1 &= 1^2+0^2+0^2+0^2\\
2 &= 1^2+1^2+0^2+0^2\\
3 &= 1^2+1^2+1^2+1^2\\
4 &= 1^2+1^2+1^2+1^2\\
&= 2^2+0^2+0^2+0^2\\
5 &= 2^2+1^2+0^2+0^2\\
7 &= 2^2+1^2+1^2+1^2\\
15 &= 3^2+2^2+1^1+1^1
\end{align*}

7 や 15 は，3 個以下の平方の和では表せません．

また，4 のように，表し方が複数あるものもあります．

自然数 $n$ を高々 4 個の平方数の和として表す方法は，ヤコビの四平方定理
\begin{align*}
r(n) = 8\sum_{4\not\mid \,\,d\mid n}d
\end{align*}
で与えられます．

この式の和の部分は， $n$ の約数のうち，4 の倍数でないものの和をとっています．

例えば， $n=4$ のとき， $r(4)=8(1+2)=24$ となります．

実は，この定理では 4 つの数の順番や，正負を変えたものも異なる表し方として数えています．

なので， $4=2^2+0^2+0^2+0^2$ に対して，

\begin{align*}
4 &= 2^2+0^2+0^2+0^2 &= (-2)^2+0^2+0^2+0^2\\
&= 0^2+2^2+0^2+0^2 &= 0^2+(-2)^2+0^2+0^2\\
&= 0^2+0^2+2^2+0^2 &= 0^2+0^2+(-2)^2+0^2\\
&= 0^2+0^2+0^2+2^2 &= 0^2+0^2+0^2+(-2)^2
\end{align*}

の 8 通りがあります．

$4=1^2+1^2+1^2+1^2$ に対しても 4 つのそれぞれに 1 or -1 の 2 通りあるので, $2^4 = 16$ 通りの表し方が対応します．

ラグランジュの四平方定理の証明.

まず，4 つの平方数の和で表された数同士の積もまた 4 つの平方数の和で表される，という補題を用意しておきます．

補題1.

\begin{align*}
(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2) &= (x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4)^2\\
&\quad + (x_1y_2-x_2y_1+x_3y_4-x_4y_3)^2 \\
&\quad +(x_1y_3-x_3y_1+x_4y_2-x_2y_4)^2\\
&\quad + (x_1y_4-x_4y_1+x_2y_3-x_3y_2)^2
\end{align*}

これは展開すれば確かめられます．

では，ここから証明に入っていきます．

$n=1, 2$ のときは，上にも示した通り，

\begin{align*}
1 &= 1^2+0^2+0^2+0^2\\
2 &= 1^2+1^2+0^2+0^2
\end{align*}

なので，定理は成り立ちます．

あとは， $n$ が奇素数(奇数かつ素数)の場合を示すことができれば，全ての自然数についても成り立つことが (補題1. ) からいえます．

そこで，以下では $n$ が奇素数の場合を証明します．

素数であることが分かりやすいように， $n=p$ とおきます．

$p$ は奇数で 3 以上なので, $\dfrac{1}{2}(p-1)$ は自然数です．そこで，

\begin{align*}
S &= \{x^2\mid x\in\mathbb{Z}, 0\leqq x\leqq\frac{1}{2}(p-1)\}\\
T &= \{-1-y^2\mid y\in\mathbb{Z}, 0\leqq y\leqq\frac{1}{2}(p-1)\}
\end{align*}

という集合 $S, T$ を考えます．ここで， $\mathbb{Z}$ は整数全体の集合を表しています．

このとき, $x^2\geqq 0, -1-y^2<0$ より, $S\cap T=\emptyset$ なので，

\begin{align*}
\#(S\cap T) = 0
\end{align*}

( $S\cap T$ の要素数がゼロ).

ここで，

$S$ の任意の 2 つの要素 $k^2, l^2$ , ( $k\neq l$ ) について

$k^2\not\equiv l^2\pmod{p}.$

$T$ の任意の 2 つの要素 $-1-k^2, -1-l^2$ , ( $k\neq l$ ) について

$-1-k^2\not\equiv -1-l^2\pmod{p}.$

が成り立ちます．これは背理法で簡単に示せるので，今回は省略します．

さて,

\begin{align*}
\#(S\cup T) &= \#S+\#T\\
&= \frac{1}{2}(p+1)+\frac{1}{2}(p+1)\\
&= p+1
\end{align*}

なので，鳩ノ巣原理より， $p$ を法として合同であるような， $S$ の要素と $T$ の要素の組が少なくとも 1 つ存在します．

それらの要素を， $X^2\in S, -1-Y^2\in T$ とすると，

\begin{align*}
X^2&\equiv -1-Y^2\pmod{p}\\
\therefore X^2+Y^2+1^2+0^2&\equiv 0
\end{align*}

よって， $X^2+Y^2+1^2+0^2=mp$ となる整数 $m$ が存在します．

この $m$ が $m=1$ であれば，この時点で証明できたことになります．

そこで， $m>1$ の場合を考えます．

$X_1=X, X_2=Y, X_3=1, X_4=0$ とおいて，

\begin{align*}
\,-\frac{1}{2}k < Y _ i \leqq\frac{1}{2}k,\quad X _ i\equiv Y _ i\pmod{k} \quad(i=1, 2, 3, 4)
\end{align*}

として $Y_1, Y_2, Y_3, Y_4$ を定めると，

\begin{align*}
Y_1^2+Y_2^2+Y_3^2+Y_4^2&\equiv X_1^2+X_2^2+X_3^2+X_4^2\\
&\equiv kp\\
&\equiv 0\pmod{k}
\end{align*}

よって， $Y_1^2+Y_2^2+Y_3^2+Y_4^2=k^\prime k$ となる自然数 $k^\prime$ が存在します．

$\,-\frac{1}{2}k < Y_i \leqq \frac{1}{2} k$ より， $Y_i^2 \leqq \frac{1}{4}k^2$ なので,

$Y_1^2+Y_2^2+Y_3^2+Y_4^2\leqq 4\cdot\frac{1}{4}k^2=k^2$

より， $k^\prime\leqq k$ となっています．

ここで, $k=k^\prime$ とすると矛盾が生じることを示していきます．

各 $X_i$ について $X_i^2\leqq \{\frac{1}{2}(p-1)\}^2$ なので，

\begin{align*}
X_1^2+X_2^2+X_3^2+X_4^2 &\leqq (p-1)^2\\
\therefore kp&< p^2
\end{align*}

両辺 $p$ で割ると， $k < p$ .

よって，( $p$ は素数なので) $k$ と $p$ は互いに素となり， $kp$ は $k^2$ では割り切れない．

一方， $k^\prime=k$ となるのは，

$Y_1=Y_2=Y_3=Y_4=\frac{1}{2}k$

のときで，このとき $X_i\equiv Y_i\pmod{k}$ であることも考慮すると，

$kp=X_1^2+X_2^2+X_3^2+X_4^2$ は $k^2$ の倍数となります．

これは上の事実に矛盾します．

以上より， $k^\prime\neq k$ がいえたので， $0 < k^\prime < k.$

ここで，2 式

\begin{align*}
kp &= X_1^2+X_2^2+X_3^2+X_4^2\\
k^\prime k &= Y_1^2+Y_2^2+Y_3^2+Y_4^2
\end{align*}

の積を考えると，(補題1.) により，

\begin{align*}
k^2k^\prime p = A_1^2+A_2^2+A_3^2+A_4^2
\end{align*}

となる整数 $A_1, A_2, A_3, A_4$ が存在します．

$X_i\equiv Y_i\pmod{k}\quad(i=1, 2, 3, 4)$ を使うと，

$A_i\equiv 0\pmod{k}(i=1, 2, 3, 4)$

となります．

よって， $A_i=kB_i$ となる整数 $B_1, B_2, B_3, B_4$ があって，上の式に代入して両辺を $k^2$ で割ると

$k^\prime p = B_1^2+B_2^2+B_3^2+B_4^2$

となります．

この時点で $k^\prime =1$ であれば $p$ が 4 つの平方数の和で表されたことになりますし， $k^\prime>1$ であれば， $k^\prime, B_1, B_2, B_3, B_4$ を新しく $k, X_1, X_2, X_3, X_4$ と見做して同じ変形をくり返せば，いずれ $k^\prime=1$ となります．